(10%) Questão 1. Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
Informações dadas: a equação relaciona a derivada de
em relação a
com a própria função
e com
. Não há condição inicial fornecida, então procuramos a solução geral. Note que a expressão envolve
no denominador, portanto
é ponto que precisa ser observado (a solução geral valerá em intervalos onde
).
Passo 2
Interpretando a notação:
significa a derivada de
em relação a
, isto é
. Então a equação pode ser reescrita como
A ideia de separar variáveis é colocar todos os termos que dependem de
de um lado e todos os termos que dependem de
do outro, para depois integrar cada lado.
Passo 3
Separando as variáveis: divido ambos os lados por
(assumindo momentaneamente
) e multiplico ambos os lados por
. Obtenho
Explicação didática: aqui tratamos
e
como “pequenos incrementos” formais que podemos manipular para separar as variáveis. O objetivo é ter uma integral em
à esquerda e uma integral em
à direita.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Preciso usar duas fórmulas básicas de integração:
- Para a função racional
temos . Isso vem do fato de que a derivada de é . - Para potência de
, quando . No nosso caso , com , então
.
Passo 5
Aplicando as integrais ao passo anterior:
resulta em
onde
é a constante de integração (única constante que podemos colocar, pois subtraímos as integrais em lados opostos e combinamos as constantes).
Passo 6
Para isolar
, exponencio ambos os lados. Lembrando que se
então
. Assim,
Chamo
de uma nova constante positiva
. Então
.
Passo 7
Removendo o valor absoluto, a solução geral (incluindo sinal) pode ser escrita com uma constante real arbitrária
(que pode ser positiva, negativa ou zero):
onde
. Observação importante: para
obtemos a solução trivial
. Portanto a família acima já contém a solução nula.
Passo 8
Domínio das soluções: como apareceu
e
no enunciado, a equação original não é definida em
. Assim cada solução
é válida em intervalos onde
, tipicamente em
ou em
. Se houver uma condição inicial dada em
usamos o ramo
; se em
usamos o ramo
.
Passo 9
Verificação rápida (útil na prova): calcule a derivada de
por diferença:
Como
, temos
, portanto a solução confere com a equação original.