(10%) Questão 1. Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis:
y^{\prime}=y / x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
y'=\frac{y}{x^{2}}.
Informações dadas: a equação relaciona a derivada de y em relação a x com a própria função y e com x. Não há condição inicial fornecida, então procuramos a solução geral. Note que a expressão envolve x^{2} no denominador, portanto x=0 é ponto que precisa ser observado (a solução geral valerá em intervalos onde x\neq 0).

Passo 2

Interpretando a notação: y' significa a derivada de y em relação a x, isto é \dfrac{dy}{dx}. Então a equação pode ser reescrita como
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x^{2}}.
A ideia de separar variáveis é colocar todos os termos que dependem de y de um lado e todos os termos que dependem de x do outro, para depois integrar cada lado.

Passo 3

Separando as variáveis: divido ambos os lados por y (assumindo momentaneamente y\neq 0) e multiplico ambos os lados por dx. Obtenho
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Explicação didática: aqui tratamos dy e dx como “pequenos incrementos” formais que podemos manipular para separar as variáveis. O objetivo é ter uma integral em y à esquerda e uma integral em x à direita.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Preciso usar duas fórmulas básicas de integração:
  • Para a função racional 1/y temos \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C. Isso vem do fato de que a derivada de \ln|y| é 1/y.
  • Para potência de x, \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C quando n\neq -1. No nosso caso 1/x^{2}=x^{-2}, com n=-2, então
    \displaystyle \int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}+C.

Passo 5

Aplicando as integrais ao passo anterior:
\int \frac{1}{y}\,dy=\int \frac{1}{x^{2}}\,dx
resulta em
\ln|y|=-\frac{1}{x}+C,
onde C é a constante de integração (única constante que podemos colocar, pois subtraímos as integrais em lados opostos e combinamos as constantes).

Passo 6

Para isolar y, exponencio ambos os lados. Lembrando que se \ln|y|=A então |y|=e^{A}. Assim,
|y|=e^{-\frac{1}{x}+C}=e^{C}\,e^{-\frac{1}{x}}.
Chamo e^{C} de uma nova constante positiva C_{1}>0. Então |y|=C_{1}e^{-\frac{1}{x}}.

Passo 7

Removendo o valor absoluto, a solução geral (incluindo sinal) pode ser escrita com uma constante real arbitrária C (que pode ser positiva, negativa ou zero):
y=C\,e^{-\frac{1}{x}},
onde C\in\mathbb{R}. Observação importante: para C=0 obtemos a solução trivial y\equiv 0. Portanto a família acima já contém a solução nula.

Passo 8

Domínio das soluções: como apareceu \frac{1}{x} e x^{2} no enunciado, a equação original não é definida em x=0. Assim cada solução y=C\,e^{-1/x} é válida em intervalos onde x\neq 0, tipicamente em (-\infty,0) ou em (0,\infty). Se houver uma condição inicial dada em x>0 usamos o ramo x>0; se em x<0 usamos o ramo x<0.

Passo 9

Verificação rápida (útil na prova): calcule a derivada de y=C\,e^{-1/x} por diferença:
\frac{dy}{dx}=C\cdot e^{-\frac{1}{x}}\cdot\left(\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x}\right)\right) = C\,e^{-\frac{1}{x}}\cdot\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Como y=C\,e^{-1/x}, temos \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x^{2}}, portanto a solução confere com a equação original.

Resposta

y=C\,e^{-\frac{1}{x}},\;C\in\mathbb{R}

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