9-10 A regra do produto pode ser aplicada ao divergente do escalar
vezes o vetor
como:
. Expanda ambos os lados desta equação em coordenadas cartesianas e verifique se ela está correta.
Passo 1
O enunciado nos dá a identidade
onde
e
. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: vamos usar a definição de divergência e gradiente em coordenadas cartesianas e a regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Começamos pelo lado esquerdo, a divergência de
:
Passo 3
Aplicando a regra do produto em cada termo:
Somando as três expressões:
Passo 4
Reconhecemos que
Portanto
que é exatamente o lado direito da identidade.
Resposta
A expansão em coordenadas cartesianas mostra que os dois lados coincidem, confirmando que
é correto.