9-10 A regra do produto pode ser aplicada ao divergente do escalar f vezes o vetor \vec{G} como: \vec{\nabla} \cdot(f \vec{G})=\vec{G} \cdot \vec{\nabla} f+f \vec{\nabla} \cdot \vec{G}. Expanda ambos os lados desta equação em coordenadas cartesianas e verifique se ela está correta.

Passo 1

O enunciado nos dá a identidade
\nabla\!\cdot\!(f\,\vec G)=\vec G\!\cdot\!\nabla f \;+\; f\,\nabla\!\cdot\!\vec G
onde \vec G=(G_x,G_y,G_z) e f=f(x,y,z). O conteúdo aqui é cálculo vetorial: vamos usar a definição de divergência e gradiente em coordenadas cartesianas e a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Começamos pelo lado esquerdo, a divergência de f\,\vec G:
\nabla\!\cdot\!(f\,\vec G) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f\,G_x\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f\,G_y\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(f\,G_z\bigr).

Passo 3

Aplicando a regra do produto em cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(f\,G_x) =G_x\,\frac{\partial f}{\partial x}+f\,\frac{\partial G_x}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y}(f\,G_y) =G_y\,\frac{\partial f}{\partial y}+f\,\frac{\partial G_y}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}(f\,G_z) =G_z\,\frac{\partial f}{\partial z}+f\,\frac{\partial G_z}{\partial z}.
Somando as três expressões:
\nabla\!\cdot\!(f\,\vec G) =G_x\frac{\partial f}{\partial x}+G_y\frac{\partial f}{\partial y}+G_z\frac{\partial f}{\partial z} \;+\; f\Bigl(\frac{\partial G_x}{\partial x}+\frac{\partial G_y}{\partial y}+\frac{\partial G_z}{\partial z}\Bigr).

Passo 4

Reconhecemos que
\vec G\!\cdot\!\nabla f =G_x\frac{\partial f}{\partial x}+G_y\frac{\partial f}{\partial y}+G_z\frac{\partial f}{\partial z},
\nabla\!\cdot\!\vec G =\frac{\partial G_x}{\partial x}+\frac{\partial G_y}{\partial y}+\frac{\partial G_z}{\partial z}.
Portanto
\nabla\!\cdot\!(f\,\vec G) =\vec G\!\cdot\!\nabla f \;+\; f\,\nabla\!\cdot\!\vec G,
que é exatamente o lado direito da identidade.

Resposta

A expansão em coordenadas cartesianas mostra que os dois lados coincidem, confirmando que
\nabla\!\cdot\!(f\,\vec G)=\vec G\!\cdot\!\nabla f+f\,\nabla\!\cdot\!\vec G
é correto.

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