Um tanque esférico de 1,8 \mathrm{~m} de diâmetro e espessura desprezível contém água com gelo a 0^{\circ} \mathrm{C}. O ar a 25^{\circ} \mathrm{C} escoa sobre o tanque com velocidade de 7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a taxa de transferência de calor para o reservatório e a taxa na qual o gelo derrete. O calor de fusão da água a 0{ }^{\circ} \mathrm{C} é 333,7 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de calor transferido por convecção de um ar a 25^\circ\mathrm{C} escoando a 7\\ \mathrm{m/s} sobre um tanque esférico de diâmetro D=1{,}8\\ \mathrm{m}, cujo conteúdo está a 0^\circ\mathrm{C}, e em seguida a taxa de fusão do gelo usando L_f=333{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}. Vamos aplicar transferência de calor por convecção externa sobre esfera e depois converter essa potência em massa de gelo fundida por segundo.

Passo 2

Definimos a temperatura de filme como a média entre ar e superfície:
T_f = \frac{25 + 0}{2} = 12{,}5\\ ^\circ\mathrm{C}.
Nas tabelas, para ar a T_f\approx12{,}5^\circ\mathrm{C}:
k \approx 0{,}025\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad \Pr \approx 0{,}7,\quad \nu \approx 1{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 3

Calculamos o número de Reynolds baseado em D:
\Re = \frac{U_\infty\,D}{\nu} = \frac{7\;\mathrm{m/s}\times1{,}8\;\mathrm{m}}{1{,}6\times10^{-5}\;\mathrm{m^2/s}} \approx 7{,}9\times10^5.

Passo 4

Usamos a correlação de Ranz–Marshall para esfera:
\Nu_D = 2 + 0{,}6\,\Re^{1/2}\,\Pr^{1/3}.
Calculando:
\Re^{1/2}\approx \sqrt{7{,}9\times10^5}\approx 890,\qquad \Pr^{1/3}\approx 0{,}7^{1/3}\approx0{,}89,
\Nu_D = 2 +0{,}6\times890\times0{,}89\approx 2 +475\approx477.

Passo 5

O coeficiente convectivo é
h = \frac{\Nu_D\,k}{D} = \frac{477\times0{,}025}{1{,}8}\approx6{,}6\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.

Passo 6

A área de superfície da esfera é
A = \pi D^2 = \pi\times(1{,}8)^2\approx10{,}18\\ \mathrm{m^2}.

Passo 7

A taxa de calor é
\dot Q = h\,A\,(T_\infty - T_s) = 6{,}6\times10{,}18\times(25 - 0) \approx1{,}69\times10^3\\ \mathrm{W}.

Passo 8

A massa de gelo que funde por segundo é
\dot m = \frac{\dot Q}{L_f} = \frac{1{,}69\times10^3\\ \mathrm{W}}{333{,}7\times10^3\\ \mathrm{J/kg}} \approx5,1\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/s}.

Resposta

Taxa de transferência de calor: \dot Q\approx1{,}7\\ \mathrm{kW}.
Taxa de fusão do gelo: \dot m\approx5,1\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/s}.

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