Para um escoamento tridimensional DEMONSTRE e expresse em termos da velocidade e derivadas da velocidade:
a) A taxa de translação;
b) A taxa de rotação;
c) A taxa de deformação linear;
d) A taxa de deformação por cisalhamento.
Monte a matriz taxa de deformação
\varepsilon_{i j}=\left(\begin{array}{lll} \varepsilon_{x x} & \varepsilon_{x y} & \varepsilon_{x z} \\\ \varepsilon_{y x} & \varepsilon_{y y} & \varepsilon_{y z} \\\ \varepsilon_{z x} & \varepsilon_{z y} & \varepsilon_{z z} \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para decompor o gradiente de velocidades de um escoamento tridimensional em quatro partes físicas:
– a taxa de translação do elemento fluido;
– a taxa de rotação (girante) do elemento;
– a taxa de deformação linear (normais);
– a taxa de deformação por cisalhamento (cisalhantes).
O conteúdo usado será a decomposição do tensor gradiente de velocidades
\frac{\partial v_i}{\partial x_j}
em suas partes simétrica e antissimétrica, além de reconhecer que a translação é simplesmente a velocidade do centro do elemento.

Passo 2

A taxa de translação de um elemento fluido é simplesmente a sua velocidade no ponto considerado. Se denotarmos por \displaystyle \mathbf{v} = (u,v,w)
o vetor velocidade, então
\text{Taxa de translação} = \mathbf{v}\,.çã

Passo 3

A taxa de rotação (ou tensor de vorticidade) corresponde à parte antissimétrica do gradiente de velocidades. Definimos
\Omega_{ij} = \frac12\biggl(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} -\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\biggr).
Em particular, o vetor velocidade angular \boldsymbol\omega tem componentes
\omega_k =\frac12\,\varepsilon_{kij}\, \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\,,
onde \varepsilon_{kij} é o símbolo de Levi-Civita.

Passo 4

A taxa de deformação linear (normais) corresponde às componentes diagonais da parte simétrica do gradiente de velocidades. Denotando \displaystyle D_{ij}=\tfrac12(\partial v_i/\partial x_j+\partial v_j/\partial x_i),
temos para i=j:
\varepsilon_{xx} =\frac{\partial u}{\partial x},\qquad \varepsilon_{yy} =\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \varepsilon_{zz} =\frac{\partial w}{\partial z}.

Passo 5

A taxa de deformação por cisalhamento (cisalhantes) corresponde às componentes fora da diagonal de D_{ij}. Para i\neq j:
\varepsilon_{ij} =\frac12\biggl(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} +\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\biggr).
Em coordenadas cartesianas:
\varepsilon_{xy} =\frac12\Bigl(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\Bigr), \quad \varepsilon_{xz} =\frac12\Bigl(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\Bigr), \quad \varepsilon_{yz} =\frac12\Bigl(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\Bigr),
e \varepsilon_{yx}=\varepsilon_{xy}, \varepsilon_{zx}=\varepsilon_{xz}, \varepsilon_{zy}=\varepsilon_{yz}.

Passo 6

Reunindo todas as componentes da taxa de deformação (parte simétrica do gradiente de velocidades), a matriz \varepsilon_{ij} fica:
\varepsilon_{ij} = \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x} &\displaystyle \frac12\bigl(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\bigr) &\displaystyle \frac12\bigl(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\bigr)\\[1em] \displaystyle\frac12\bigl(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\bigr) &\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y} &\displaystyle \frac12\bigl(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\bigr)\\[1em] \displaystyle\frac12\bigl(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\bigr) &\displaystyle\frac12\bigl(\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z}\bigr) &\displaystyle\frac{\partial w}{\partial z} \end{pmatrix}.]

Resposta

(a) Taxa de translação:
\mathbf{v}=(u,v,w).
(b) Taxa de rotação (tensor antissimétrico):
\Omega_{ij} =\tfrac12\bigl(\partial_j v_i-\partial_i v_j\bigr), \quad \omega_k =\tfrac12\,\varepsilon_{kij}\,\partial_i v_j.
(c) Taxa de deformação linear (normais): \varepsilon_{xx}=\partial u/\partial x, \varepsilon_{yy}=\partial v/\partial y, \varepsilon_{zz}=\partial w/\partial z.
(d) Taxa de deformação por cisalhamento: \varepsilon_{ij}=\tfrac12(\partial_j v_i+\partial_i v_j) para i\neq j.
Matriz completa da taxa de deformação:
\varepsilon_{ij} = \begin{pmatrix} \partial_x u & \tfrac12(\partial_y u+\partial_x v) & \tfrac12(\partial_z u+\partial_x w)\\[0.5em] \tfrac12(\partial_x v+\partial_y u) & \partial_y v & \tfrac12(\partial_z v+\partial_y w)\\[0.5em] \tfrac12(\partial_x w+\partial_z u) & \tfrac12(\partial_y w+\partial_z v) & \partial_z w \end{pmatrix}.]

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