Para um escoamento tridimensional DEMONSTRE e expresse em termos da velocidade e derivadas da velocidade:
a) A taxa de translação;
b) A taxa de rotação;
c) A taxa de deformação linear;
d) A taxa de deformação por cisalhamento.
O enunciado pede para decompor o gradiente de velocidades de um escoamento tridimensional em quatro partes físicas:
– a taxa de translação do elemento fluido;
– a taxa de rotação (girante) do elemento;
– a taxa de deformação linear (normais);
– a taxa de deformação por cisalhamento (cisalhantes).
O conteúdo usado será a decomposição do tensor gradiente de velocidades
\frac{\partial v_i}{\partial x_j}
em suas partes simétrica e antissimétrica, além de reconhecer que a translação é simplesmente a velocidade do centro do elemento.
Passo 2
A taxa de translação de um elemento fluido é simplesmente a sua velocidade no ponto considerado. Se denotarmos por \displaystyle \mathbf{v} = (u,v,w)
o vetor velocidade, então
\text{Taxa de translação} = \mathbf{v}\,.çã
Passo 3
A taxa de rotação (ou tensor de vorticidade) corresponde à parte antissimétrica do gradiente de velocidades. Definimos
onde \varepsilon_{kij} é o símbolo de Levi-Civita.
Passo 4
A taxa de deformação linear (normais) corresponde às componentes diagonais da parte simétrica do gradiente de velocidades. Denotando \displaystyle D_{ij}=\tfrac12(\partial v_i/\partial x_j+\partial v_j/\partial x_i),
temos para i=j:
(c) Taxa de deformação linear (normais): \varepsilon_{xx}=\partial u/\partial x, \varepsilon_{yy}=\partial v/\partial y, \varepsilon_{zz}=\partial w/\partial z.
(d) Taxa de deformação por cisalhamento: \varepsilon_{ij}=\tfrac12(\partial_j v_i+\partial_i v_j) para i\neq j.