1-10 Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime-y=x^3-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = x^3 - x
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea e em seguida uma solução particular para o termo não-homogêneo x^3 - x.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
yh'' - yh = 0
A equação característica é
r^2 - 1 = 0,
cuja solução é r = pm 1. Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^x + C2 e^-x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para
y'' - y = x^3 - x
Como o lado direito é um polinômio de grau 3 e não há ressonância com as soluções exponenciais, tentamos
yp = A x^3 + B x^2 + C x + D
Calculamos as derivadas:
yp' = 3A x^2 + 2B x + C,
yp'' = 6A x + 2B
Substituindo em y'' - y temos
yp'' - yp = (6A x + 2B) - (A x^3 + B x^2 + C x + D) = -A x^3 - B x^2 + (6A - C)x + (2B - D)
Esse resultado deve ser igual a x^3 - x. Igualando coeficientes:
- Coeficiente de x^3: -A = 1 Rightarrow A = -1.
- Coeficiente de x^2: -B = 0 Rightarrow B = 0.
- Coeficiente de x: 6A - C = -1 Rightarrow 6(-1) - C = -1 Rightarrow -6 - C = -1 Rightarrow C = -5.
- Termo constante: 2B - D = 0 Rightarrow 0 - D = 0 Rightarrow D = 0.
Portanto,
yp = -x^3 - 5x

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma de yh com yp:
y = yh + yp = C1 e^x + C2 e^-x ;-; x^3 - 5x

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^-x - x^3 - 5x

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