1-10 Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea e em seguida uma solução particular para o termo não-homogêneo
.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
A equação característica é
cuja solução é
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
Como o lado direito é um polinômio de grau
e não há ressonância com as soluções exponenciais, tentamos
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
temos
Esse resultado deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
- Coeficiente de :
.
- Coeficiente de :
.
- Coeficiente de :
.
- Termo constante: .
- Coeficiente de
- Coeficiente de
- Coeficiente de
- Termo constante:
Portanto,
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é a soma de
com
: