Resolva cada integral usando o método por partes: integral u d v=u cdot v-integral v d u
integral x cos 5 x d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos resolver a integral integral x cos 5x , dx usando o método de integração por partes. A integração por partes é uma técnica que ajuda a integrar o produto de duas funções, separando-as em partes mais fáceis de lidar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais partes da integral serão u e dv. Geralmente, escolhemos u para ser uma função que fica mais simples ao derivar, e dv para ser algo que conseguimos integrar facilmente.
Aqui, vamos definir:
  • u = x (porque a derivada de x é mais simples)
  • dv = cos 5x , dx (porque sabemos como integrar o cosseno)

Passo 3

Agora, vamos encontrar du e v derivando u e integrando dv:
  • du = ddx(x) , dx = 1 cdot dx = dx
  • v = integral cos 5x , dx = 15 sin 5x

Passo 4

Com u, du, v e dv identificados, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores:
integral x cos 5x , dx = x cdot 15 sin 5x - integral 15 sin 5x cdot dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral 15 sin 5x , dx = 15 cdot ( -15 cos 5x ) = -125 cos 5x

Passo 6

Finalmente, juntamos tudo para obter a resposta completa:
integral x cos 5x , dx = x5 sin 5x - ( -125 cos 5x ) + C
Simplificando:
integral x cos 5x , dx = x5 sin 5x + 125 cos 5x + C

Resposta

integral x cos 5x , dx = x5 sin 5x + 125 cos 5x + C

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