Calcule a integral de superfície.
integral duplasigma^sigma x-y-z d S, onde sigma é a porção do plano x+y=1 no primeiro octante entre z=0 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
integral duplasigma(x - y - z),dS
onde sigma é a porção do plano x+y=1 no primeiro octante limitada por z=0 e z=1.
Conteúdo: integral de superfície de função escalar. Vamos parametrizar a superfície, obter dS e integrar sobre a região de parâmetros.

Passo 2

Parametrizamos o plano x+y=1 usando y e z como parâmetros:
boldsymbolphi(y,z) = (,x,y,z,) = (,1 - y,;y,;z,),
com domínio D = (y,z)mid 0 <= y <= 1,;0 <= z <= 1, pois no primeiro octante y>=0, x=1-y>=0 y<=1, e zin[0,1].

Passo 3

Calculamos os vetores parciais
boldsymbolphiy=(-1,1,0), boldsymbolphiz=(0,0,1)
e o produto vetorial
boldsymbolphiytimesboldsymbolphiz = (1,1,0)
Assim,
dS = l|boldsymbolphiytimesboldsymbolphizr|,dy,dz = raiz1^2+1^2,dy,dz = raiz2,dy,dz

Passo 4

Expressão da função no parâmetro:
x - y - z = (1 - y) - y - z = 1 - 2y - z
Logo a integral de superfície vira
integral duplaD(1 - 2y - z),l(raiz2,dy,dzr) = raiz2,integral dupla0<= y,z<=1(1 - 2y - z),dy,dz

Passo 5

Primeiro integramos em y:
integral0^1(1 - 2y - z),dy = integral0^1(1 - z),dy ;-;2integral0^1y,dy = (1 - z)cdot1 ;-;2cdot12 = 1 - z - 1 = -z
Depois em z:
raiz2,integral0^1(-z),dz = -raiz2,integral0^1z,dz = -raiz2,12 = -raiz22

Resposta

-raiz22

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