integrale^e^4 d xraizln x

Passo 1

Primeiro, vamos reescrever o enunciado para entender o que pedem. Precisamos calcular a integral integrale^e^4 dxraizln x. O conteúdo envolve técnicas de substituição em integrais e reconhecimento de funções especiais (a função erro imaginária).

Passo 2

Para simplificar a raiz logarítmica, fazemos a substituição u = raizln x. Assim, ln x = u^2 e x = e^u^2. Diferenciando, obtemos dx = 2u e^u^2,du.

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração. Quando x = e, u = 1. Quando x = e^4, u = 2. Substituindo na integral, temos:
integrale^e^4 dxraizln x = integral1^2 2u e^u^2u,du = 2 integral1^2 e^u^2 ,du

Passo 4

Reconhecemos que integral e^u^2 du não admite primitiva elementar. Introduzimos então a função erro imaginária, definida por:
erfi(x) = 2raizpi integral0^x e^t^2 dt
Dessa definição, deduzimos:
integral1^2 e^u^2 du = raizpi2 l(erfi(2) - erfi(1)r)

Passo 5

Finalmente, multiplicamos por 2 e chegamos ao resultado:
2 integral1^2 e^u^2 du = raizpi l(erfi(2) - erfi(1)r)

Resposta

raizpil(erfi(2)-erfi(1)r)

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