[10.] Resolver por separação de variáveis a EDO,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária por separação de variáveis:
onde
é uma constante arbitrária. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
- Variável dependente:
(função de uma variável independente que chamaremos de ). - Derivada:
representa . - Constante:
é uma constante real qualquer. - Pedido: encontrar a família de soluções
usando o método de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro reescrevo a equação substituindo
por
, para tornar explícita a dependência de
:
Isolo o termo com a derivada:
Passo 3
Agora aplico a ideia de separação de variáveis: agrupar todos os fatores que contêm
com
e todos os fatores que contêm
com
. Como o lado direito é produto de uma função de
(no caso
mesmo) por uma constante, posso dividir ambos os lados por
(assumindo provisoriamente
) e multiplicar por
:
Isto separa as variáveis: à esquerda só aparece
e
; à direita só aparece
(através de
) e a constante
.
Passo 4
Integro ambos os lados. A integral da esquerda em relação a
e da direita em relação a
:
Conhecimento útil (mini-aula): a primitiva de
é
. Isso aparece porque a derivada de
é
(para
). A constante
é constante, então fica multiplicando a integral do lado direito. Portanto:
onde
é a constante de integração (uma constante real arbitrária).
Passo 5
Agora “desfaço” o logaritmo através da exponenciação. Exponencio ambos os lados com a função exponencial
:
No lado esquerdo
. No lado direito
. Logo:
Chamo
. Note que
(exponencial de uma constante real é positiva), então
Passo 6
Tirando o valor absoluto, obtemos duas possibilidades
. Iremos absorver o sinal
em uma única constante arbitrária
que pode ser positiva, negativa ou zero. Assim a solução geral não-trivial escreve-se
onde agora
é uma constante real qualquer. Observação importante (caso
identicamente zero): a escolha
dá a solução trivial
, que também satisfaz a equação original. Portanto a família acima já inclui a solução zero.
Passo 7
Verificação rápida (como checar na prova): derivando a solução geral
obtemos
o que substituído na equação original dá
, confirmando que a solução está correta.
Passo 8
Casos especiais e intuição:
- Se
, a equação vira e a solução é (constante), que coincide com . - Soluções não nulas nunca cruzam zero: se
, então tem o mesmo sinal para todo , pois sempre. - Exemplo numérico: tomando
e , a solução é . Pode-se substituir e conferir que funciona.