[10.] Resolver por separação de variáveis a EDO,
u^{\prime}+p u=0 \quad \text { onde } \quad p \text { é uma constante arbitrária. }éá

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária por separação de variáveis:
u^{\prime} + p\,u = 0,
onde p é uma constante arbitrária. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
  • Variável dependente: u (função de uma variável independente que chamaremos de x).
  • Derivada: u^{\prime} representa \dfrac{du}{dx}.
  • Constante: p é uma constante real qualquer.
  • Pedido: encontrar a família de soluções u(x) usando o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro reescrevo a equação substituindo u' por \dfrac{du}{dx}, para tornar explícita a dependência de x:
\frac{du}{dx} + p\,u = 0.
Isolo o termo com a derivada:
\frac{du}{dx} = -p\,u.

Passo 3

Agora aplico a ideia de separação de variáveis: agrupar todos os fatores que contêm u com du e todos os fatores que contêm x com dx. Como o lado direito é produto de uma função de u (no caso u mesmo) por uma constante, posso dividir ambos os lados por u (assumindo provisoriamente u\neq0) e multiplicar por dx:
\frac{1}{u}\,du = -p\,dx.
Isto separa as variáveis: à esquerda só aparece u e du; à direita só aparece x (através de dx) e a constante p.

Passo 4

Integro ambos os lados. A integral da esquerda em relação a u e da direita em relação a x:
\int \frac{1}{u}\,du = \int -p\,dx.
Conhecimento útil (mini-aula): a primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u|. Isso aparece porque a derivada de \ln|u| é \dfrac{1}{u} (para u\neq0). A constante p é constante, então fica multiplicando a integral do lado direito. Portanto:
\ln|u| = -p x + C,
onde C é a constante de integração (uma constante real arbitrária).

Passo 5

Agora “desfaço” o logaritmo através da exponenciação. Exponencio ambos os lados com a função exponencial e^{(\cdot)}:
e^{\ln|u|} = e^{-p x + C}.
No lado esquerdo e^{\ln|u|}=|u|. No lado direito e^{-p x + C}=e^{C}e^{-p x}. Logo:
|u| = e^{C} e^{-p x}.
Chamo A:=e^{C}. Note que A>0 (exponencial de uma constante real é positiva), então
|u| = A e^{-p x}.

Passo 6

Tirando o valor absoluto, obtemos duas possibilidades u = \pm A e^{-p x}. Iremos absorver o sinal \pm em uma única constante arbitrária C que pode ser positiva, negativa ou zero. Assim a solução geral não-trivial escreve-se
u(x) = C e^{-p x},
onde agora C é uma constante real qualquer. Observação importante (caso u identicamente zero): a escolha C=0 dá a solução trivial u(x)=0, que também satisfaz a equação original. Portanto a família acima já inclui a solução zero.

Passo 7

Verificação rápida (como checar na prova): derivando a solução geral \;u(x)=C e^{-p x}\; obtemos
u'(x)=C(-p)e^{-p x}=-p\,u(x),
o que substituído na equação original dá -p\,u + p\,u = 0, confirmando que a solução está correta.

Passo 8

Casos especiais e intuição:
  • Se p=0, a equação vira u'=0 e a solução é u(x)=C (constante), que coincide com u(x)=C e^{0}=C.
  • Soluções não nulas nunca cruzam zero: se C\neq0, então u(x) tem o mesmo sinal para todo x, pois e^{-p x}>0 sempre.
  • Exemplo numérico: tomando p=2 e C=3, a solução é u(x)=3e^{-2x}. Pode-se substituir e conferir que funciona.

Resposta

u(x)=C\,e^{-p x},\; C\in\mathbb{R}

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