Encontre todas as soluções das seguintes EDO’s;
t u^{\prime}-u+u \ln t=u \ln u

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t\,u' - u + u\ln t = u\ln u
e pede: encontrar todas as soluções u(t). Observações imediatas extraídas do enunciado:
  • A presença de \ln t exige t>0.
  • A presença de \ln u exige, para a equação estar bem definida, u(t)>0 (ou então discutir extensão contínua em casos degenerados, o que aqui não faremos).
    Portanto procuraremos soluções u(t)>0 definidas para t>0.

Passo 2

Vamos simplificar a equação isolando u'. Reescrevendo os termos do lado direito:
t\,u' = u - u\ln t + u\ln u = u\bigl(1 + \ln u - \ln t\bigr).
Usando \ln u - \ln t = \ln\!\bigl(\tfrac{u}{t}\bigr) obtemos
t\,u' = u\bigl(1 + \ln\!\bigl(\tfrac{u}{t}\bigr)\bigr).
Dividindo por t (lembrando t>0):
u' = \frac{u}{t}\bigl(1 + \ln\!\bigl(\tfrac{u}{t}\bigr)\bigr).

Passo 3

Para simplificar a presença de \ln\!\bigl(\tfrac{u}{t}\bigr) é natural fazer a substituição
w(t)=\ln\!\bigl(\tfrac{u(t)}{t}\bigr).
Motivação: w contém exatamente o log que aparece na equação e costuma linearizar expressões assim. A substituição exige u(t)>0 e t>0, condições já estabelecidas.

Passo 4

Expressar u e u' em termos de w. Da definição temos
u(t)=t\,e^{w(t)}.
Derivando em t com a regra do produto e da cadeia:
u'(t)=e^{w(t)} + t\,e^{w(t)} w'(t)=e^{w(t)}\bigl(1 + t\,w'(t)\bigr).

Passo 5

Substituir u e u' na forma simplificada da EDO do Passo 2. Do lado direito temos
\frac{u}{t}\bigl(1 + \ln\!\bigl(\tfrac{u}{t}\bigr)\bigr)=e^{w(t)}\bigl(1 + w(t)\bigr)
e do lado esquerdo u' = e^{w(t)}\bigl(1 + t\,w'(t)\bigr). Igualando:
e^{w(t)}\bigl(1 + t\,w'(t)\bigr)=e^{w(t)}\bigl(1 + w(t)\bigr).
Como e^{w(t)}>0 podemos cancelar e obter
1 + t\,w'(t)=1 + w(t)\quad\Rightarrow\quad t\,w'(t)=w(t).

Passo 6

A equação t\,w' = w é separável / de coeficientes homogêneos; escrevendo de forma separável:
\frac{w'}{w}=\frac{1}{t}.
Integrando ambos os lados:
\ln|w|=\ln t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando e recolocando constantes obtemos
w(t)=K\,t,
onde K\in\mathbb{R} é constante arbitrária (inclui o caso K=0).

Passo 7

Voltar à variável original u. Lembrando w=\ln\!\bigl(\tfrac{u}{t}\bigr), temos
\ln\!\bigl(\tfrac{u(t)}{t}\bigr)=K\,t \quad\Rightarrow\quad \frac{u(t)}{t}=e^{K t}.
Portanto a família geral de soluções (para t>0 e u(t)>0) é
u(t)=t\,e^{K t},\qquad K\in\mathbb{R}.

Passo 8

Verificação rápida (checar na prova): calcular u' para u(t)=t e^{K t}:
u' = e^{K t} + t K e^{K t}=e^{K t}(1 + K t).
Calcular \ln\!\bigl(\tfrac{u}{t}\bigr)=\ln(e^{K t})=K t. Então a forma simplificada u'=\tfrac{u}{t}(1+\ln(u/t)) fica
\text{LHS }=e^{K t}(1+K t),\qquad \text{RHS }=\frac{t e^{K t}}{t}(1+K t)=e^{K t}(1+K t),
logo a igualdade se mantém, confirmando que a família encontrada resolve a EDO.

Resposta

u(t)=t\,e^{K t},\\ K\in\mathbb{R},\\ t>0

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