Encontre todas as soluções das seguintes EDO’s;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: encontrar todas as soluções
. Observações imediatas extraídas do enunciado:
- A presença de
exige . - A presença de
exige, para a equação estar bem definida, (ou então discutir extensão contínua em casos degenerados, o que aqui não faremos).
Portanto procuraremos soluçõesdefinidas para .
Passo 2
Vamos simplificar a equação isolando
. Reescrevendo os termos do lado direito:
Usando
obtemos
Dividindo por
(lembrando
):
Passo 3
Para simplificar a presença de
é natural fazer a substituição
Motivação:
contém exatamente o log que aparece na equação e costuma linearizar expressões assim. A substituição exige
e
, condições já estabelecidas.
Passo 4
Expressar
e
em termos de
. Da definição temos
Derivando em
com a regra do produto e da cadeia:
Passo 5
Substituir
e
na forma simplificada da EDO do Passo 2. Do lado direito temos
e do lado esquerdo
. Igualando:
Como
podemos cancelar e obter
Passo 6
A equação
é separável / de coeficientes homogêneos; escrevendo de forma separável:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando e recolocando constantes obtemos
onde
é constante arbitrária (inclui o caso
).
Passo 7
Voltar à variável original
. Lembrando
, temos
Portanto a família geral de soluções (para
e
) é
Passo 8
Verificação rápida (checar na prova): calcular
para
:
Calcular
. Então a forma simplificada
fica
logo a igualdade se mantém, confirmando que a família encontrada resolve a EDO.