[9.] Encontre as soluções da EDO,
Verifique por substituição que as duas famílias de soluções obtidas no exercício anterior, são de fato soluções.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial ordinária
onde
é a função desconhecida e
é a variável independente. Também é pedido verificar por substituição que as duas famílias de soluções obtidas (a positiva e a negativa) são de fato soluções.
Informações e observações iniciais que vêm do próprio enunciado:
- A equação envolve termos
e , portanto e também não podemos ter em pontos onde a equação precisa valer (pois isso tornaria indefinido). - Vamos procurar a família geral de soluções dependente de uma constante arbitrária
. - Em passos posteriores vou transformar a EDO para uma equação mais simples para resolver.
Passo 2
Motivação para uma substituição útil e cálculo inicial.
Repare que a equação contém tanto quanto
. Uma ideia natural é eliminar a fração envolvendo
passando para a variável
. Isso costuma simplificar porque a derivada de
está relacionada a
.
Repare que a equação contém tanto
Defina
Aplicando a regra da cadeia para derivar
em função de
obtemos
Agora isolamos
da equação original: multiplicando a EDO por
(lembre que isso só é válido quando
) obtemos
Substituindo
e
temos uma equação para
:
Multiplicando por
resulta
Portanto a substituição transformou a EDO não-linear em uma EDO linear de primeira ordem para
.
Passo 3
Resolver a EDO linear para
.
Escrevemos a equação obtida na forma padrão de uma equação linear:
Escrevemos a equação obtida na forma padrão de uma equação linear:
Aqui a função
(coeficiente de
) é
. O método do fator integrante (integrating factor) diz: calcular
Como
, temos
(Para
podemos trabalhar com
porque
.)
Multiplicando toda a equação por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, isto é,
Agora integramos ambos os lados em
:
onde
é constante arbitrária de integração.
Multiplicando por
obtemos a solução geral para
:
Passo 4
Voltar para
a partir de
.
Lembrando que , temos
Lembrando que
Tomando raiz quadrada (e lembrando que uma equação
dá duas raízes) obtemos as duas famílias de soluções
onde
é constante arbitrária real. Aqui escrevemos
assumindo que o conteúdo da raiz é não negativo; portanto a solução existe (e é real) em intervalos onde
Além disso, sempre precisamos de
(a equação original exige isso) e de
nos pontos onde a EDO de partida é exigida (a presença de
impede que
anule em pontos do domínio da solução). Assim, uma solução real válida num intervalo exige que
e
nesse intervalo.
Passo 5
Verificação por substituição (mostrar que as famílias são soluções).
Uma verificação eficiente é usar novamente. A EDO original é equivalente (quando
) à equação para
:
Uma verificação eficiente é usar
Já resolvemos essa equação e encontramos
Calculamos explicitamente
para verificar a igualdade:
usar produto e regra da derivada do log:
usar produto e regra da derivada do log:
Agora computamos o lado direito
:
que coincide com
. Portanto
satisfaz a equação linear. Voltando para
, como
satisfaz a equação equivalente e estamos assumindo
no domínio, segue que
satisfaz a equação original. Isso confirma que tanto
são soluções (cada uma válida nos intervalos onde a raiz é real e
).
Passo 6
Observações finais e cuidados para a prova (dicas rápidas e empurrãozinho amigo).
- Anota na prova: faça a substituição
porque ela transforma a EDO não-linear numa EDO linear simples. Mostra a derivada e substitui — isso é o passo-chave. - Ao integrar, não esquece do
(o módulo é importante). - Ao voltar para
, escreve a solução com e especifica o domínio onde a expressão dentro da raiz é positiva e . - Não tente forçar a solução
: ela não é permitida porque a equação original tem .
Força aí — você consegue! 😊