Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
A equação diferencial dada é
(t+2u+1)^{-1}u' = t+2u+4.
O enunciado sugere tomar a substituição
v = t+2u+1.
O objetivo é encontrar as soluções u(t) da EDO usando essa substituição.
Passo 2
Primeiro vou expressar u' em termos de v e v'. Diferencio v = t+2u+1 em relação a t. Como a derivada de t é 1 e a de 2u é 2u', obtém-se
v' = 1 + 2u'.
Desse relacionamento isolamos u':
u' = \frac{v' - 1}{2}.
Passo 3
Agora substituo v e u' na EDO original. A equação dada pode ser reescrita multiplicando ambos os lados por t+2u+1:
u' = (t+2u+1)(t+2u+4).
Pelo que definimos, t+2u+1 = v. Logo o lado direito fica v(v+3). Substituindo u'=\dfrac{v'-1}{2} no lado esquerdo:
\frac{v'-1}{2} = v(v+3).
Multiplicando por 2,
v' - 1 = 2v^2 + 6v,
logo obtemos a EDO para v(t):
v' = 2v^2 + 6v + 1.
Passo 4
A EDO para v é separável. Escrevo-a como
\frac{dv}{2v^2+6v+1} = dt.
Agora vou integrar ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo faço fatoração ou uso frações parciais; primeiro identifico as raízes do quadrático 2v^2+6v+1. O discriminante é
onde K = \pm e^{C_1} é uma constante arbitrária real. Resolvo para v:
v - r_+ = K e^{2\sqrt{7}\,t}(v - r_-)
v\bigl(1 - K e^{2\sqrt{7}\,t}\bigr) = r_+ - K e^{2\sqrt{7}\,t} r_-
v(t)=\frac{r_+ - K e^{2\sqrt{7}\,t} r_-}{1 - K e^{2\sqrt{7}\,t}}.
Aqui r_{\pm}=\dfrac{-3\pm\sqrt{7}}{2} e K\in\mathbb{R} é constante arbitrária. Note que as escolhas limites K=0 ou K\to\infty dão as soluções constantes v(t)=r_+ e v(t)=r_-, respectivamente (essas são soluções especiais).
Passo 7
Volto à variável original u. Lembre que
v = t + 2u + 1 \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{v - t - 1}{2}.
Substituo v(t) obtido:
u(t)=\frac{1}{2}\left(\frac{r_+ - K e^{2\sqrt{7}\,t} r_-}{1 - K e^{2\sqrt{7}\,t}} - t - 1\right),
com r_{\pm}=\dfrac{-3\pm\sqrt{7}}{2} e K constante arbitrária real. As soluções constantes correspondem a v=r_{\pm}, o que dá
u(t)=\frac{r_{\pm}-t-1}{2}
quando v é uma dessas raízes.
Resposta
u(t)=\frac{1}{2}\left(\frac{\dfrac{-3+\sqrt{7}}{2} - K e^{2\sqrt{7}\,t}\dfrac{-3-\sqrt{7}}{2}}{1 - K e^{2\sqrt{7}\,t}} - t - 1\right), \qquad K\in\mathbb{R}.
(Soluções particulares constantes: u(t)=\dfrac{r_{\pm}-t-1}{2} com r_{\pm}=\dfrac{-3\pm\sqrt{7}}{2}.)