[12.] Encontre soluções da EDO,
(t+2 u+1)^{-1} u^{\prime}=t+2 u+4 \quad \text { tomando } \quad v=t+2 u+1

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • A equação diferencial dada é
(t+2u+1)^{-1}u' = t+2u+4.
  • O enunciado sugere tomar a substituição
v = t+2u+1.
  • O objetivo é encontrar as soluções u(t) da EDO usando essa substituição.

Passo 2

Primeiro vou expressar u' em termos de v e v'. Diferencio v = t+2u+1 em relação a t. Como a derivada de t é 1 e a de 2u é 2u', obtém-se
v' = 1 + 2u'.
Desse relacionamento isolamos u':
u' = \frac{v' - 1}{2}.

Passo 3

Agora substituo v e u' na EDO original. A equação dada pode ser reescrita multiplicando ambos os lados por t+2u+1:
u' = (t+2u+1)(t+2u+4).
Pelo que definimos, t+2u+1 = v. Logo o lado direito fica v(v+3). Substituindo u'=\dfrac{v'-1}{2} no lado esquerdo:
\frac{v'-1}{2} = v(v+3).
Multiplicando por 2,
v' - 1 = 2v^2 + 6v,
logo obtemos a EDO para v(t):
v' = 2v^2 + 6v + 1.

Passo 4

A EDO para v é separável. Escrevo-a como
\frac{dv}{2v^2+6v+1} = dt.
Agora vou integrar ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo faço fatoração ou uso frações parciais; primeiro identifico as raízes do quadrático 2v^2+6v+1. O discriminante é
\Delta = 6^2 - 4\cdot2\cdot1 = 36 - 8 = 28.
As raízes são
r_{\pm} = \frac{-6 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{2}.
Portanto
2v^2+6v+1 = 2(v - r_+)(v - r_-).

Passo 5

Faço a decomposição em frações parciais
\frac{1}{2(v-r_+)(v-r_-)} = \frac{A}{v-r_+} + \frac{B}{v-r_-}.
Como A+B=0 e A(r_+-r_-)=\tfrac{1}{2}, obtém-se
A=\frac{1}{2(r_+-r_-)}=\frac{1}{2\sqrt{7}},\qquad B=-\frac{1}{2\sqrt{7}}.
Assim a integral fica
\int \frac{dv}{2v^2+6v+1} = \frac{1}{2\sqrt{7}}\int\left(\frac{1}{v-r_+}-\frac{1}{v-r_-}\right)dv.
Integrando:
\frac{1}{2\sqrt{7}}\ln\left|\frac{v-r_+}{v-r_-}\right| = t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolo a razão exponenciando. Multiplicando ambos os lados por 2\sqrt{7} e exponenciando, obtenho
\ln\left|\frac{v-r_+}{v-r_-}\right| = 2\sqrt{7}\,t + C_1
\frac{v-r_+}{v-r_-} = K e^{2\sqrt{7}\,t},
onde K = \pm e^{C_1} é uma constante arbitrária real. Resolvo para v:
v - r_+ = K e^{2\sqrt{7}\,t}(v - r_-)
v\bigl(1 - K e^{2\sqrt{7}\,t}\bigr) = r_+ - K e^{2\sqrt{7}\,t} r_-
v(t)=\frac{r_+ - K e^{2\sqrt{7}\,t} r_-}{1 - K e^{2\sqrt{7}\,t}}.
Aqui r_{\pm}=\dfrac{-3\pm\sqrt{7}}{2} e K\in\mathbb{R} é constante arbitrária. Note que as escolhas limites K=0 ou K\to\infty dão as soluções constantes v(t)=r_+ e v(t)=r_-, respectivamente (essas são soluções especiais).

Passo 7

Volto à variável original u. Lembre que
v = t + 2u + 1 \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{v - t - 1}{2}.
Substituo v(t) obtido:
u(t)=\frac{1}{2}\left(\frac{r_+ - K e^{2\sqrt{7}\,t} r_-}{1 - K e^{2\sqrt{7}\,t}} - t - 1\right),
com r_{\pm}=\dfrac{-3\pm\sqrt{7}}{2} e K constante arbitrária real. As soluções constantes correspondem a v=r_{\pm}, o que dá
u(t)=\frac{r_{\pm}-t-1}{2}
quando v é uma dessas raízes.

Resposta

u(t)=\frac{1}{2}\left(\frac{\dfrac{-3+\sqrt{7}}{2} - K e^{2\sqrt{7}\,t}\dfrac{-3-\sqrt{7}}{2}}{1 - K e^{2\sqrt{7}\,t}} - t - 1\right), \qquad K\in\mathbb{R}.
(Soluções particulares constantes: u(t)=\dfrac{r_{\pm}-t-1}{2} com r_{\pm}=\dfrac{-3\pm\sqrt{7}}{2}.)

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