t u^{\prime}=(t-u)^{2}+u \quad \text { tomando } \quad v=t-u
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
t\,u'(t)=(t-u(t))^{2}+u(t)
fazendo a substituição indicada v(t)=t-u(t).
Informações dadas e objetivo:
A EDO é a equação acima, função incógnita u(t).
Foi sugerido usar a substituição v(t)=t-u(t).
Queremos encontrar a solução geral u(t) (ou uma família de soluções) em termos de uma constante arbitrária.
Passo 2
Calcular as relações entre u, v e suas derivadas para fazer a substituição. Como foi definida
v(t)=t-u(t),
temos, isolando u,
u(t)=t-v(t).
Agora derivamos ambos os lados em relação a t. Derivada de t é 1 e de -v(t) é -v'(t), portanto
u'(t)=1-v'(t).
Isto é importante: ao substituir na EDO devemos usar u'(t)=1-v'(t) e t-u(t)=v(t).
Passo 3
Substituir essas expressões na equação original. A equação original é
t\,u'(t)=(t-u)^{2}+u.
Substituindo u'(t)=1-v'(t), t-u=v e u=t-v, obtemos
t\bigl(1-v'(t)\bigr)=v(t)^{2}+(t-v(t)).
Desenvolvendo o lado direito e simplificando:
t - t\,v'(t)=v^{2}+t-v.
Cancelar t em ambos os lados (pois aparece somando dos dois lados) dá
- t\,v'(t)=v^{2}-v.
Multiplicando por -1 e rearranjando:
t\,v'(t)=v(1-v).
Passo 4
Reconhecer o tipo da equação obtida. A equação
t\,v'(t)=v(1-v)
pode ser escrita como uma equação separável dividindo por t (assumindo t\neq0):
v'(t)=\frac{v(1-v)}{t}.
Equações separáveis permitem agrupar termos em v de um lado e em t do outro:
\frac{dv}{v(1-v)}=\frac{dt}{t}.
Explico a ideia: separar significa escrever toda a parte que depende só de v multiplicando dv e toda a parte que depende só de t multiplicando dt, para então integrar ambos os lados.
Passo 5
Integrar ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo usamos frações parciais. Observamos que
\frac{1}{v(1-v)}=\frac{1}{v}+\frac{1}{1-v},
porque \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{1-v}=\dfrac{1-v+v}{v(1-v)}=\dfrac{1}{v(1-v)}.
Uma forma mais direta e suficiente para uso em prova é deixar
u(t)=t-\frac{K t}{1+K t},
com K constante arbitrária e observando que denominadores não podem anular-se (1+K t\neq0).
Passo 8
Verificar soluções especiais (soluções constantes de v). Na equação separável obtivemos termos v(1-v). Portanto v(t)\equiv0 e v(t)\equiv1 são soluções constantes possíveis da equação diferencial para v. Traduzindo em u:
Se v\equiv0 então u(t)=t. Verificação direta na EDO original: u'=1, t u'=t e (t-u)^2+u=0+t=t. OK.
Se v\equiv1 então u(t)=t-1. Verificação direta: u'=1, t u'=t e (t-u)^2+u=1+t-1=t. OK.
Essas soluções estão cobertas pela forma geral obtida: v(t)=\dfrac{K t}{1+K t} apresenta v\equiv0 para K=0. A solução v\equiv1 corresponde ao caso limite K\to\infty (ou, se preferir, ao escolher a constante na forma alternativa v=\dfrac{t}{t+A} com A=0).