[11.] Encontre soluções da EDO,
t u^{\prime}=(t-u)^{2}+u \quad \text { tomando } \quad v=t-u

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
t\,u'(t)=(t-u(t))^{2}+u(t)
fazendo a substituição indicada v(t)=t-u(t).
Informações dadas e objetivo:
  • A EDO é a equação acima, função incógnita u(t).
  • Foi sugerido usar a substituição v(t)=t-u(t).
  • Queremos encontrar a solução geral u(t) (ou uma família de soluções) em termos de uma constante arbitrária.

Passo 2

Calcular as relações entre u, v e suas derivadas para fazer a substituição. Como foi definida
v(t)=t-u(t),
temos, isolando u,
u(t)=t-v(t).
Agora derivamos ambos os lados em relação a t. Derivada de t é 1 e de -v(t) é -v'(t), portanto
u'(t)=1-v'(t).
Isto é importante: ao substituir na EDO devemos usar u'(t)=1-v'(t) e t-u(t)=v(t).

Passo 3

Substituir essas expressões na equação original. A equação original é
t\,u'(t)=(t-u)^{2}+u.
Substituindo u'(t)=1-v'(t), t-u=v e u=t-v, obtemos
t\bigl(1-v'(t)\bigr)=v(t)^{2}+(t-v(t)).
Desenvolvendo o lado direito e simplificando:
t - t\,v'(t)=v^{2}+t-v.
Cancelar t em ambos os lados (pois aparece somando dos dois lados) dá
- t\,v'(t)=v^{2}-v.
Multiplicando por -1 e rearranjando:
t\,v'(t)=v(1-v).

Passo 4

Reconhecer o tipo da equação obtida. A equação
t\,v'(t)=v(1-v)
pode ser escrita como uma equação separável dividindo por t (assumindo t\neq0):
v'(t)=\frac{v(1-v)}{t}.
Equações separáveis permitem agrupar termos em v de um lado e em t do outro:
\frac{dv}{v(1-v)}=\frac{dt}{t}.
Explico a ideia: separar significa escrever toda a parte que depende só de v multiplicando dv e toda a parte que depende só de t multiplicando dt, para então integrar ambos os lados.

Passo 5

Integrar ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo usamos frações parciais. Observamos que
\frac{1}{v(1-v)}=\frac{1}{v}+\frac{1}{1-v},
porque \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{1-v}=\dfrac{1-v+v}{v(1-v)}=\dfrac{1}{v(1-v)}.
Portanto
\int\frac{dv}{v(1-v)}=\int\left(\frac{1}{v}+\frac{1}{1-v}\right)dv.
Cálculo das primitivas:
\int\frac{1}{v}\,dv=\ln|v|+\text{constante}, \qquad \int\frac{1}{1-v}\,dv=-\ln|1-v|+\text{constante}.
Logo a combinação dá
\int\frac{dv}{v(1-v)}=\ln|v|-\ln|1-v|+C_1=\ln\left|\frac{v}{1-v}\right|+C_1.
No lado direito temos
\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C_2.
Igualando as integrais (podemos absorver C_1 e C_2 numa única constante C):
\ln\left|\frac{v}{1-v}\right|=\ln|t|+C.

Passo 6

Resolver a constante exponenciando e isolar v. Exponenciando ambos os lados:
\left|\frac{v}{1-v}\right|=e^{C}\,|t|.
Definindo K=\pm e^{C} (constante arbitrária não-nula que pode assumir qualquer valor real), obtemos sem valor absoluto
\frac{v}{1-v}=K t.
Agora isolamos v:
v=K t(1-v)\quad\Rightarrow\quad v+K t\,v=K t\quad\Rightarrow\quad v(1+K t)=K t.
Portanto, quando 1+K t\neq0,
v(t)=\frac{K t}{1+K t}.
Isto é a expressão explícita para v em função de t e da constante K.

Passo 7

Voltar à variável u. Lembrando que u(t)=t-v(t), substituímos:
u(t)=t-\frac{K t}{1+K t}.
Simplificando (colocando em denominador comum):
u(t)=\frac{t(1+K t)-K t}{1+K t}=\frac{t(1+K t-K)}{1+K t}.
Uma forma mais direta e suficiente para uso em prova é deixar
u(t)=t-\frac{K t}{1+K t},
com K constante arbitrária e observando que denominadores não podem anular-se ( 1+K t\neq0).

Passo 8

Verificar soluções especiais (soluções constantes de v). Na equação separável obtivemos termos v(1-v). Portanto v(t)\equiv0 e v(t)\equiv1 são soluções constantes possíveis da equação diferencial para v. Traduzindo em u:
  • Se v\equiv0 então u(t)=t. Verificação direta na EDO original: u'=1, t u'=t e (t-u)^2+u=0+t=t. OK.
  • Se v\equiv1 então u(t)=t-1. Verificação direta: u'=1, t u'=t e (t-u)^2+u=1+t-1=t. OK.
Essas soluções estão cobertas pela forma geral obtida: v(t)=\dfrac{K t}{1+K t} apresenta v\equiv0 para K=0. A solução v\equiv1 corresponde ao caso limite K\to\infty (ou, se preferir, ao escolher a constante na forma alternativa v=\dfrac{t}{t+A} com A=0).

Resposta

u(t)=t-\dfrac{K t}{1+K t},\quad K\in\mathbb{R} (com 1+K t\neq0).
Soluções particulares: u(t)=t e u(t)=t-1.

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