9.10 Seja o contorno de integração \mathscr{L} o círculo |z|=1, percorrido no sentido anti-horário (positivo) desde \theta=0 até \theta=2 \pi. Calcule:
\oint_{\mathscr{L}} \frac{d z}{z(z+5)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{\mathscr{L}} \frac{dz}{z(z+5)}
onde \mathscr{L} é o círculo \{z:|z|=1\} percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema dos Resíduos, que afirma que a integral vale 2\pi i vezes a soma dos resíduos das singularidades internas ao contorno.

Passo 2

Identificamos as singularidades (polos) da função
f(z)=\frac{1}{z(z+5)}
Elas são em z=0 e em z=-5. Como \mathscr{L} é o círculo de raio 1 centrado na origem, apenas z=0 está dentro de |z|=1; o polo em z=-5 fica fora.

Passo 3

Calculamos o resíduo de f em z=0. Como é um polo simples,
\mathrm{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{1}{z(z+5)} = \lim_{z\to0}\frac{1}{z+5} = \frac{1}{5}.

Passo 4

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é
\oint_{\mathscr{L}}\frac{dz}{z(z+5)} =2\pi i\sum_{\text{polos internos}}\mathrm{Res}(f) =2\pi i\cdot\frac{1}{5} =\frac{2\pi i}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi i}{5}

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