Exercício 4. Seja a função
\begin{aligned} g:[-1, \infty[ & \rightarrow \mathbb{R} \\\ x & \mapsto(x+1)^{1 / 2} \end{aligned}
Deseja-se estimar o valor de
\int_{0}^{2} g(x) d x
por meio de um método numérico de integração de modo a se cometer um erro inferior a 10^{-5}. Qual é o menor valor de n para que a aproximação por
(a) ( 00,75 ponto ) M_{n} cumpra o requisito?
(b) ( 00,75 ponto ) T_{n} cumpra o requisito?
(c) ( oo, 80 ponto ) S_{n} cumpra o requisito?
Na resolução deste exercício deve constar a indicação de todos os cálculos necessários; os cálculos aritméticos em si e o estudo do gráfico de funções podem ser feitos com auxilio de um computador ou de uma calculadora.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos aproximar
\displaystyle \int_{0}^{2} g(x) \, \mathrm{d}x
com g(x)=\sqrt{x+1} usando as regras compostas do ponto‐médio \mathrm{M}_n, do trapézio \mathrm{T}_n e de Simpson \mathrm{S}_n, de modo que o erro seja menor que 10^{-5}. Para isso precisamos (i) determinar as derivadas de ordem 2 e 4 de g, (ii) obter o máximo dessas derivadas em [0,2] e (iii) usar as fórmulas de cota de erro composto.

Passo 2

Calcular as derivadas de g:
g(x)=(x+1)^{1/2},
g'(x)=\frac12\,(x+1)^{-1/2},
g''(x)=-\frac14\,(x+1)^{-3/2},
g^{(4)}(x)=-\frac{15}{16}\,(x+1)^{-7/2}.
Em [0,2] o denominador (x+1) é mínimo em x=0, logo
\max_{[0,2]}|g''(x)|=\frac14, \qquad \max_{[0,2]}|g^{(4)}(x)|=\frac{15}{16}.

Passo 3

Para \mathrm{M}_n a cota de erro composto é
|E_M|\le \frac{(b-a)^3}{24\,n^2}\,\max|g''(x)|,
com a=0, b=2. Portanto
|E_M|\le \frac{2^3}{24\,n^2}\cdot\frac14 =\frac{1}{12\,n^2}.
Queremos \frac{1}{12\,n^2}<10^{-5}, ou seja
n^2>\frac{1}{12\times10^{-5}}\approx8333{,}3 \quad\Longrightarrow\quad n>91{,}3,
logo o menor n inteiro é n=92.

Passo 4

Para \mathrm{T}_n a cota de erro composto é
|E_T|\le \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,\max|g''(x)|,
o que dá
|E_T|\le \frac{2^3}{12\,n^2}\cdot\frac14 =\frac{1}{6\,n^2}.
Precisamos de \frac{1}{6\,n^2}<10^{-5}, isto é
n^2>\frac{1}{6\times10^{-5}}\approx16666{,}7 \quad\Longrightarrow\quad n>129{,}1,
portanto o menor n é n=130.

Passo 5

Para \mathrm{S}_n a cota de erro composto é
|E_S|\le \frac{(b-a)}{180}\,h^4\,\max|g^{(4)}(x)|,
onde h=(b-a)/n. Substituindo,
|E_S|\le \frac{2^5}{180\,n^4}\cdot\frac{15}{16} =\frac{1}{6\,n^4}.
Queremos \frac{1}{6\,n^4}<10^{-5}, isto é
n^4>\frac{1}{6\times10^{-5}}\approx16666{,}7 \quad\Longrightarrow\quad n>11{,}2,
e como n deve ser par (Simpson), tomamos n=12.

Resposta

(a) n=92
(b) n=130
(c) n=12

Exercícios relacionados