Exercício 4. Seja a função
Deseja-se estimar o valor de
por meio de um método numérico de integração de modo a se cometer um erro inferior a
. Qual é o menor valor de
para que a aproximação por
(a) ( 00,75 ponto )
cumpra o requisito?
(b) ( 00,75 ponto )
cumpra o requisito?
(c) ( oo, 80 ponto )
cumpra o requisito?
Na resolução deste exercício deve constar a indicação de todos os cálculos necessários; os cálculos aritméticos em si e o estudo do gráfico de funções podem ser feitos com auxilio de um computador ou de uma calculadora.
(a) ( 00,75 ponto )
(b) ( 00,75 ponto )
(c) ( oo, 80 ponto )
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: queremos aproximar
com
usando as regras compostas do ponto‐médio
, do trapézio
e de Simpson
, de modo que o erro seja menor que
. Para isso precisamos (i) determinar as derivadas de ordem
e
de
, (ii) obter o máximo dessas derivadas em
e (iii) usar as fórmulas de cota de erro composto.
Passo 2
Calcular as derivadas de
:
Em
o denominador
é mínimo em
, logo
Passo 3
Para
a cota de erro composto é
com
,
. Portanto
Queremos
, ou seja
logo o menor
inteiro é
.
Passo 4
Para
a cota de erro composto é
o que dá
Precisamos de
, isto é
portanto o menor
é
.
Passo 5
Para
a cota de erro composto é
onde
. Substituindo,
Queremos
, isto é
e como
deve ser par (Simpson), tomamos
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)