9.4 Considere a função
f(z)=\left(3 y^{2}-x^{3}\right)+i\left(6 x y^{2}-3 y x^{2}\right)
Responda, justificando:
a) As equações de Cauch-Riemman são satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) As derivadas parciais
\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}
são contínuas em todos os pontos do eixo real?
c) A função f(z) é analítica em todos os pontos do eixo real?

Passo 1

O enunciado define
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),
onde
u(x,y)=3y^{2}-x^{3}, \quad v(x,y)=6x\,y^{2}-3y\,x^{2},
e pede:
a) verificar se as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todos os pontos do eixo real ( y=0);
b) checar se \partial u/\partial x, \partial u/\partial y, \partial v/\partial x e \partial v/\partial y são contínuas em y=0;
c) concluir se f é analítica em pontos do eixo real.
O conteúdo é a diferenciação complexa via condições de Cauchy–Riemann e conceito de analiticidade.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de u e v:
\frac{\partial u}{\partial x} = -3x^{2}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 6y,
\frac{\partial v}{\partial x} = 6y^{2}-6xy, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 12xy-3x^{2}.

Passo 3

As equações de Cauchy–Riemann são
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Substituindo, obtemos
-3x^{2} = 12xy - 3x^{2} \quad\Longrightarrow\quad 12\,x\,y = 0,
6y = -\bigl(6y^{2}-6xy\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 6y = -6y^{2}+6xy \quad\Longrightarrow\quad y\,(x - y -1)=0.
A interseção dessas soluções é y=0 (para qualquer x) ou o ponto isolado (x,y)=(0,-1). Assim, em todos os pontos do eixo real ( y=0) as duas equações se satisfazem simultaneamente.
a) Sim. Nas curvas y=0 (eixo real) temos 12xy=0 e y(x-y-1)=0 satisfeitas, logo as condições de Cauchy–Riemann valem para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

b) Cada derivada parcial é um polinômio em x,y, e polinômios são funções contínuas em todo o plano. Logo, \partial u/\partial x, \partial u/\partial y, \partial v/\partial x e \partial v/\partial y são contínuas em especial em todos os pontos do eixo real.

Passo 5

c) Para f ser analítica num ponto é preciso que ela seja complexamente diferenciável num entorno aberto desse ponto. Aqui as equações de Cauchy–Riemann só se verificam exatamente na reta y=0, mas não num vizinhança aberta de nenhum ponto dessa reta. Portanto, embora f seja diferenciável pontualmente sobre o eixo real, ela não é analítica em nenhum ponto desse eixo.

Resposta

a) Sim.
b) Sim.
c) Não.

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