9.4 Considere a função
Responda, justificando:
a) As equações de Cauch-Riemman são satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) As derivadas parciais
são contínuas em todos os pontos do eixo real?
c) A função
é analítica em todos os pontos do eixo real?
a) As equações de Cauch-Riemman são satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) As derivadas parciais
c) A função
Passo 1
O enunciado define
onde
e pede:
a) verificar se as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todos os pontos do eixo real ( );
b) checar se ,
,
e
são contínuas em
;
c) concluir se é analítica em pontos do eixo real.
O conteúdo é a diferenciação complexa via condições de Cauchy–Riemann e conceito de analiticidade.
a) verificar se as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todos os pontos do eixo real (
b) checar se
c) concluir se
O conteúdo é a diferenciação complexa via condições de Cauchy–Riemann e conceito de analiticidade.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
Passo 3
As equações de Cauchy–Riemann são
Substituindo, obtemos
A interseção dessas soluções é
(para qualquer
) ou o ponto isolado
. Assim, em todos os pontos do eixo real (
) as duas equações se satisfazem simultaneamente.
a) Sim. Nas curvas (eixo real) temos
e
satisfeitas, logo as condições de Cauchy–Riemann valem para todo
.
a) Sim. Nas curvas
Passo 4
b) Cada derivada parcial é um polinômio em
, e polinômios são funções contínuas em todo o plano. Logo,
,
,
e
são contínuas em especial em todos os pontos do eixo real.
Passo 5
c) Para
ser analítica num ponto é preciso que ela seja complexamente diferenciável num entorno aberto desse ponto. Aqui as equações de Cauchy–Riemann só se verificam exatamente na reta
, mas não num vizinhança aberta de nenhum ponto dessa reta. Portanto, embora
seja diferenciável pontualmente sobre o eixo real, ela não é analítica em nenhum ponto desse eixo.
Resposta
a) Sim.
b) Sim.
c) Não.
b) Sim.
c) Não.