Exercício 3. ( oo, 60 ponto cada item ) Seja a função
\begin{array}{ccl} f: \mathbb{R} \backslash\{-1\} & \rightarrow & \mathbb{R} \\\ x & \mapsto & \frac{1}{\sqrt{1+x^{3}}} \end{array}
Calcular uma estimativa para
\int_{0}^{2} f(x) d x
por meio de cada um dos seguintes métodos de integração numérica:
Na resolução deste exercício deve constar a indicação de todos os cálculos necessários; os cálculos aritméticos em si podem ser feitos com auxílio de um computador ou de uma calculadora.
S_{8}.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação do integral
\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x,
onde
f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{3}}},
usando a regra composta de Simpson com n=8 subintervalos.
Para aplicar essa regra precisamos calcular o passo
h=\frac{b - a}{n}=\frac{2-0}{8}=0,25
e avaliar f nos nós x_i = 0 + i\,h, i=0,1,\dots,8.

Passo 2

Definimos os nós e calculamos f(x_i):
\begin{aligned} x_0&=0, &f(x_0)&=1/\sqrt{1+0^3}=1{,}00000,\\\ x_1&=0{,}25,&f(x_1)&=1/\sqrt{1+(0{,}25)^3}\approx0{,}99227,\\\ x_2&=0{,}50,&f(x_2)&=1/\sqrt{1+(0{,}50)^3}\approx0{,}94281,\\\ x_3&=0{,}75,&f(x_3)&=1/\sqrt{1+(0{,}75)^3}\approx0{,}83865,\\\ x_4&=1{,}00,&f(x_4)&=1/\sqrt{1+1^3}=1/\sqrt{2}\approx0{,}70711,\\\ x_5&=1{,}25,&f(x_5)&=1/\sqrt{1+(1{,}25)^3}\approx0{,}58185,\\\ x_6&=1{,}50,&f(x_6)&=1/\sqrt{1+(1{,}50)^3}\approx0{,}47785,\\\ x_7&=1{,}75,&f(x_7)&=1/\sqrt{1+(1{,}75)^3}\approx0{,}39666,\\\ x_8&=2{,}00,&f(x_8)&=1/\sqrt{1+2^3}=1/3\approx0{,}33333. \end{aligned}

Passo 3

A fórmula da regra composta de Simpson é
S_{8}=\frac{h}{3}\Bigl(f(x_0)+f(x_8)+4\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{7}f(x_i) +2\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{6}f(x_i)\Bigr).
Calculamos as somas:
\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{7}f(x_i) =f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)+f(x_7)\approx0{,}99227+0{,}83865+0{,}58185+0{,}39666=2{,}80943,
\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{6}f(x_i) =f(x_2)+f(x_4)+f(x_6)\approx0{,}94281+0{,}70711+0{,}47785=2{,}12777.
Substituindo em S_8:
S_{8}=\frac{0{,}25}{3}\Bigl(1{,}00000+0{,}33333+4\cdot2{,}80943+2\cdot2{,}12777\Bigr) =\frac{0{,}25}{3}\times16{,}82657\approx1{,}40222.

Resposta

A estimativa pelo método de Simpson composto com n=8 é
S_{8}\approx1{,}4022.

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