9.5 Discuta a diferenciabilidade e analiticidade de f(z)=z^{*} z=|z|^{2} em z=0+\mathrm{i} 0\left(z^{*}\right. é o conjugado complexo de z ).

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a diferenciabilidade de f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C} dada por
f(z)=z^*\,z=|z|^2
no ponto z_0=0, e também verificar se f é analítica (holomorfa) numa vizinhança de 0. Para isso vamos usar a definição de derivada complexa em um ponto e, em seguida, o critério de Cauchy–Riemann para analisar a existência de derivada em aberto.

Passo 2

Pela definição, f é complexamente diferenciável em z_0=0 se existir
f'(0)=\lim_{z\to0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0} =\lim_{z\to0}\frac{|z|^2-0}{z} =\lim_{z\to0}\frac{|z|^2}{z}.
Escrevendo z=r e^{\mathrm{i}\theta}, temos
\frac{|z|^2}{z} =\frac{r^2}{r e^{\mathrm{i}\theta}} =r\,e^{-\mathrm{i}\theta},
e, à medida que r\to0, isso vai a 0 independentemente de \theta. Logo
f'(0)=0
existe e f é diferenciável em 0.

Passo 3

Para ser analítica em 0, f teria de ser diferenciável em todo um entorno aberto de 0. Vamos verificar as equações de Cauchy–Riemann para
f(x+\mathrm{i}y)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y) \quad\text{com}\quad u(x,y)=x^2+y^2, \;v(x,y)=0.
As derivadas parciais são
u_x=2x,\quad u_y=2y,\quad v_x=0,\quad v_y=0.
As equações de Cauchy–Riemann exigem
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x,
isto é
2x = 0 \quad\text{e}\quad 2y = 0.
Elas só se satisfazem em (x,y)=(0,0). Portanto, em qualquer ponto diferente de 0, f não é diferenciável, e assim não existe um entorno aberto onde f seja holomorfa.

Resposta

A função f(z)=|z|^2 é complexamente diferenciável apenas em z=0, com
f'(0)=0,
mas não é analítica (holomorfa) em nenhum bairro de 0, pois falha as equações de Cauchy–Riemann para z\neq0.

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