9.5 Discuta a diferenciabilidade e analiticidade de
em
é o conjugado complexo de
).
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a diferenciabilidade de
dada por
no ponto
, e também verificar se
é analítica (holomorfa) numa vizinhança de
. Para isso vamos usar a definição de derivada complexa em um ponto e, em seguida, o critério de Cauchy–Riemann para analisar a existência de derivada em aberto.
Passo 2
Pela definição,
é complexamente diferenciável em
se existir
Escrevendo
, temos
e, à medida que
, isso vai a
independentemente de
. Logo
existe e
é diferenciável em
.
Passo 3
Para ser analítica em
,
teria de ser diferenciável em todo um entorno aberto de
. Vamos verificar as equações de Cauchy–Riemann para
As derivadas parciais são
As equações de Cauchy–Riemann exigem
isto é
Elas só se satisfazem em
. Portanto, em qualquer ponto diferente de
,
não é diferenciável, e assim não existe um entorno aberto onde
seja holomorfa.
Resposta
A função
é complexamente diferenciável apenas em
, com
mas não é analítica (holomorfa) em nenhum bairro de
, pois falha as equações de Cauchy–Riemann para
.