10 Seja V um espaço vetorial de dimensão 7 sobre R e seja T in L(V) um operador com polinômio mínimo T. Encontre todas as formas canônicas racionais possíveis de .

Passo 1

O exercício dá um espaço vetorial real de dimensão 7 e um operador linear cuja mínima é m(t)=(t^2+2)(t+3)^3. O conteúdo é Forma Canônica Racional (FCR) e vamos precisar usar a teoria de fatores invariante: escolher fatores invariante f1mid f2mid cdotsmid fr=m(t) de soma de graus 7.

Passo 2

De acordo com a teoria, cada fator invariante fi é um polinômio monico irredutível (ou produto de irredutíveis) que divide o próximo, e o último fr é exatamente a mínima m(t), de grau 5. Como a soma dos graus de todos os fi deve ser 7, o somatório dos graus dos fatores anteriores a fr é 2.

Passo 3

Existem dois cenários para repartir esses 2 graus antes de fr: ou um único fator de grau 2 (caso r=2), ou dois fatores de grau 1 cada (caso r=3).

Passo 4

No caso r=2, temos deg f1=2 e deg f2=5. E como f1mid f2=(t^2+2)(t+3)^3, as opções para f1 de grau 2 são os irreduzíveis que dividem m(t):
bul<=t f1(t)=t^2+2, levando a f2(t)=(t^2+2)(t+3)^3.
bul<=t f1(t)=(t+3)^2, levando a f2(t)=(t^2+2)(t+3)^3.

Passo 5

No caso r=3, os dois fatores iniciais têm grau 1 e somam 2. O único linear irreduzível em R aqui é t+3. Então
bul<=t f1(t)=t+3, f2(t)=t+3, f3(t)=(t^2+2)(t+3)^3.

Passo 6

Para cada escolha de fator invariante fazemos um bloco companheiro (companion matrix). Assim, as possíveis FCR de T são exatamente três formatos, correspondentes a essas três escolhas.

Resposta

As três formas canônicas racionais possíveis são (cada entrada C(g) é a matriz companheira do polinômio g):
  1. Blocos de tamanhos 2 e 5 com fatores invariante
C(t^2+2)oplus Cl((t^2+2)(t+3)^3r)
2) Blocos de tamanhos 2 e 5 com fatores invariante
Cl((t+3)^2r)oplus Cl((t^2+2)(t+3)^3r)
  1. Blocos de tamanhos 1, 1 e 5 com fatores invariante
C(t+3)oplus C(t+3)oplus Cl((t^2+2)(t+3)^3r)

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