10 Seja
um espaço vetorial de dimensão 7 sobre
e seja
um operador com polinômio mínimo
. Encontre todas as formas canônicas racionais possíveis de
.
Passo 1
O exercício dá um espaço vetorial real de dimensão 7 e um operador linear cuja mínima é
. O conteúdo é Forma Canônica Racional (FCR) e vamos precisar usar a teoria de fatores invariante: escolher fatores invariante
de soma de graus 7.
Passo 2
De acordo com a teoria, cada fator invariante
é um polinômio monico irredutível (ou produto de irredutíveis) que divide o próximo, e o último
é exatamente a mínima
, de grau 5. Como a soma dos graus de todos os
deve ser 7, o somatório dos graus dos fatores anteriores a
é 2.
Passo 3
Existem dois cenários para repartir esses 2 graus antes de
: ou um único fator de grau 2 (caso
), ou dois fatores de grau 1 cada (caso
).
Passo 4
No caso
, temos
e
. E como
, as opções para
de grau 2 são os irreduzíveis que dividem
:
, levando a
.
, levando a
.
Passo 5
No caso
, os dois fatores iniciais têm grau 1 e somam 2. O único linear irreduzível em
aqui é
. Então
,
,
.
Passo 6
Para cada escolha de fator invariante fazemos um bloco companheiro (companion matrix). Assim, as possíveis FCR de
são exatamente três formatos, correspondentes a essas três escolhas.
Resposta
As três formas canônicas racionais possíveis são (cada entrada
é a matriz companheira do polinômio
):
- Blocos de tamanhos 2 e 5 com fatores invariante
2) Blocos de tamanhos 2 e 5 com fatores invariante
- Blocos de tamanhos 1, 1 e 5 com fatores invariante