Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para achar a dimensão e bases do núcleo e da imagem da transformação linear
T: M(3×3,ℝ) → M(3×3,ℝ) definida por
T(A)=Aᵀ−2A
Conteúdo: teoria de núcleo, imagem e teorema do posto-nulidade. Vamos usar a definição de núcleo (T(A)=0) e o teorema do posto-nulidade (dimKer+dimIm=dimDom).
T: M(3×3,ℝ) → M(3×3,ℝ) definida por
T(A)=Aᵀ−2A
Conteúdo: teoria de núcleo, imagem e teorema do posto-nulidade. Vamos usar a definição de núcleo (T(A)=0) e o teorema do posto-nulidade (dimKer+dimIm=dimDom).
Passo 2
Para achar o núcleo, resolvemos
Escrevendo em componentes, para i=j temos
Para i≠j, de Aᵀ=2A vem
e aplicando a mesma relação trocada de índices:
Logo todos os a_{ij}=0 e portanto A=0.
Passo 3
Concluímos que
isto é, somente a matriz nula está em Ker(T). Logo
e a base de Ker(T) é o conjunto vazio.
Passo 4
Pelo teorema do posto-nulidade em um espaço de dimensão 9 (pois M(3×3,ℝ) tem 9 graus de liberdade),
implica
Como a imagem tem dimensão máxima, Im(T)=M(3×3,ℝ).
Passo 5
Uma base explícita de Im(T) pode ser obtida aplicando T à base padrão
, onde
. Temos:
para i=j:
para i=j:
para i≠j:
O conjunto
tem 9 matrizes e forma uma base de Im(T).
Resposta
dim Ker(T)=0, base vazia; dim Im(T)=9, Im(T)=M(3×3,ℝ) e uma base é { -E_{11}, -E_{22}, -E_{33}} \cup { E_{ji}-2E_{ij} : i\neq j}.