Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para achar a dimensão e bases do núcleo e da imagem da transformação linear
T: M(3×3,ℝ) → M(3×3,ℝ) definida por
T(A)=Aᵀ−2A
Conteúdo: teoria de núcleo, imagem e teorema do posto-nulidade. Vamos usar a definição de núcleo (T(A)=0) e o teorema do posto-nulidade (dim⁡Ker+dim⁡Im=dim⁡Dom).

Passo 2

Para achar o núcleo, resolvemos
T(A)=0 iff Aᵀ−2A=0 iff Aᵀ=2A
Escrevendo em componentes, para i=j temos
aii=2aiiimplies aii=0
Para i≠j, de Aᵀ=2A vem
aji=2aij
e aplicando a mesma relação trocada de índices:
aij=2aji=2(2aij)=4aijimplies aij=0
Logo todos os a_{ij}=0 e portanto A=0.

Passo 3

Concluímos que
Ker(T)=0,
isto é, somente a matriz nula está em Ker(T). Logo
dimKer(T)=0
e a base de Ker(T) é o conjunto vazio.

Passo 4

Pelo teorema do posto-nulidade em um espaço de dimensão 9 (pois M(3×3,ℝ) tem 9 graus de liberdade),
dimKer(T)+dimIm(T)=9
implica
dimIm(T)=9-0=9
Como a imagem tem dimensão máxima, Im(T)=M(3×3,ℝ).

Passo 5

Uma base explícita de Im(T) pode ser obtida aplicando T à base padrão Eij, onde (Eij)kl=de. Temos:
para i=j:
T(Eii)=Eiiᵀ−2Eii=-Eii,
para i≠j:
T(Eij)=Eji−2Eij
O conjunto
-E11,-E22,-E33cupEji-2Eij:ineq j
tem 9 matrizes e forma uma base de Im(T).

Resposta

dim Ker(T)=0, base vazia; dim Im(T)=9, Im(T)=M(3×3,ℝ) e uma base é { -E_{11}, -E_{22}, -E_{33}} \cup { E_{ji}-2E_{ij} : i\neq j}.

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