Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente analisar a transformação linear T: M(4times4,R) to M(4times4,R), definida por T(A)=A^t + A. O objetivo é encontrar a dimensão e uma base do núcleo ( ker(T)) e da imagem ( Im(T)). Vamos usar conceitos de núcleo, imagem e propriedades de matrizes simétricas/antissimétricas.

Passo 2

Para achar o núcleo, lembramos que por definição ker(T)=A:;T(A)=0. A condição T(A)=0 significa
A^t + A = 0 Long<=ftrightarrow A^t = -A
o que diz que A é antissimétrica (skew-symmetric).

Passo 3

Nas matrizes antissimétricas de ordem 4 temos aii=0 e aji=-aij. As entradas livres estão apenas acima da diagonal, em 1<= i, totalizando 4cdot3/2=6 graus de liberdade. Logo dimker(T)=6. Uma base natural é dada pelas matrizes
B^(ij), 1<= i
onde B^(ij) tem 1 em (i,j), -1 em (j,i) e zero nos demais.

Passo 4

Para a imagem, notamos que para qualquer A
T(A)=A^t+A
é sempre simétrica, pois
(A^t+A)^t = A + A^t = A^t + A
Isso mostra Im(T)subseteqmatrizes simétricasé. Por outro lado, se S é simétrica, basta escolher A=S/2 para ter T(A)=S. Logo
Im(T)=matrizes simétricas de ordem 4é.

Passo 5

As matrizes simétricas de ordem 4 têm entradas livres na diagonal (4 posições) e acima dela ( 4cdot3/2=6 posições), totalizando 4+6=10. Portanto dimIm(T)=10. Uma base natural é
E^(ii):i=1,dots,4cupS^(ij):1<= i
onde E^(ii) tem 1 em (i,i) e zero nos demais, e S^(ij) tem 1 em (i,j) e (j,i) e zero nos demais.

Resposta

As bases e dimensões são: dimker(T)=6, base B^(ij):1<= i com
B^(ij) tendo 1 em (i,j), -1 em (j,i) e 0 nos demais;
e dimIm(T)=10, base E^(ii):i=1,dots,4cupS^(ij):1<= i,
onde E^(ii) tem 1 em (i,i) e S^(ij) tem 1 em (i,j) e (j,i).

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