Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente analisar a transformação linear
, definida por
. O objetivo é encontrar a dimensão e uma base do núcleo (
) e da imagem (
). Vamos usar conceitos de núcleo, imagem e propriedades de matrizes simétricas/antissimétricas.
Passo 2
Para achar o núcleo, lembramos que por definição
. A condição
significa
o que diz que
Passo 3
Nas matrizes antissimétricas de ordem 4 temos
e
. As entradas livres estão apenas acima da diagonal, em
, totalizando
graus de liberdade. Logo
. Uma base natural é dada pelas matrizes
onde
Passo 4
Para a imagem, notamos que para qualquer
é sempre simétrica, pois
Isso mostra
. Por outro lado, se
é simétrica, basta escolher
para ter
. Logo
Passo 5
As matrizes simétricas de ordem 4 têm entradas livres na diagonal (4 posições) e acima dela (
posições), totalizando
. Portanto
. Uma base natural é
onde
Resposta
As bases e dimensões são:
, base
com
tendo 1 em
, -1 em
e 0 nos demais;
e , base
,
onde tem 1 em
e
tem 1 em
e
.
e
onde