Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para achar a dimensão e bases do núcleo e da imagem da aplicação linear
T: M(3×3,ℝ) → M(3×3,ℝ) definida por T(A)=Aᵀ−A. O conteúdo envolve decomposição de matrizes em parte simétrica e antissimétrica e uso do teorema do núcleo e da imagem.
T: M(3×3,ℝ) → M(3×3,ℝ) definida por T(A)=Aᵀ−A. O conteúdo envolve decomposição de matrizes em parte simétrica e antissimétrica e uso do teorema do núcleo e da imagem.
Passo 2
Para encontrar o núcleo, igualamos T(A)=0:
Logo Aᵀ=A, ou seja, A é simétrica. O espaço das matrizes simétricas 3×3 tem dimensão n(n+1)/2=3·4/2=6.
Uma base pode ser descrita usando as matrizes E_{ij} que têm 1 na posição (i,j) e 0 nas outras. Uma base de Ker(T) é:
Passo 3
Para a imagem, note que para qualquer A temos B=T(A)=Aᵀ−A e então
ou seja, B é antissimétrica. Isso mostra Im(T) está contido no espaço das matrizes antissimétricas.
Para ver que toda matriz antissimétrica S está em Im(T), basta escolher A=−\tfrac12S. Então
Passo 4
Logo Im(T) é todo o espaço das matrizes antissimétricas, de dimensão n(n−1)/2=3·2/2=3.
Uma base para Im(T) é
Uma base para Im(T) é
Passo 5
Verificando pelo teorema da dimensão (dim Ker + dim Im = 9), temos 6+3=9, consistente com dim
M(3×3,ℝ)=9.
M(3×3,ℝ)=9.
Resposta
dim(Ker(T))=6, com base {E_{11},E_{22},E_{33},E_{12}+E_{21},E_{13}+E_{31},E_{23}+E_{32}}. dim(Im(T))=3, com base {E_{12}-E_{21},E_{13}-E_{31},E_{23}-E_{32}}.