Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para achar a dimensão e bases do núcleo e da imagem da aplicação linear
T: M(3×3,ℝ) → M(3×3,ℝ) definida por T(A)=Aᵀ−A. O conteúdo envolve decomposição de matrizes em parte simétrica e antissimétrica e uso do teorema do núcleo e da imagem.

Passo 2

Para encontrar o núcleo, igualamos T(A)=0:
Aᵀ−A=0
Logo Aᵀ=A, ou seja, A é simétrica. O espaço das matrizes simétricas 3×3 tem dimensão n(n+1)/2=3·4/2=6.
Uma base pode ser descrita usando as matrizes E_{ij} que têm 1 na posição (i,j) e 0 nas outras. Uma base de Ker(T) é:
E11,,E22,,E33,,E12+E21,,E13+E31,,E23+E32

Passo 3

Para a imagem, note que para qualquer A temos B=T(A)=Aᵀ−A e então
Bᵀ=(Aᵀ−A)ᵀ=A−Aᵀ=−(Aᵀ−A)=−B,
ou seja, B é antissimétrica. Isso mostra Im(T) está contido no espaço das matrizes antissimétricas.
Para ver que toda matriz antissimétrica S está em Im(T), basta escolher A=−\tfrac12S. Então
T(A)=Aᵀ−A=l(-tfrac12Sr)ᵀ-l(-tfrac12Sr)=-tfrac12Sᵀ+tfrac12S=tfrac12S+tfrac12S=S

Passo 4

Logo Im(T) é todo o espaço das matrizes antissimétricas, de dimensão n(n−1)/2=3·2/2=3.
Uma base para Im(T) é
E12-E21,,E13-E31,,E23-E32

Passo 5

Verificando pelo teorema da dimensão (dim Ker + dim Im = 9), temos 6+3=9, consistente com dim
M(3×3,ℝ)=9.

Resposta

dim(Ker(T))=6, com base {E_{11},E_{22},E_{33},E_{12}+E_{21},E_{13}+E_{31},E_{23}+E_{32}}. dim(Im(T))=3, com base {E_{12}-E_{21},E_{13}-E_{31},E_{23}-E_{32}}.

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