11 Suponha
. A projeção de
no seu subespaço
é a transformação
definida por
, onde
. Mostre que (i)
é linear, (ii)
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma decomposição direta
e que a projeção
sobre
é dada por
, onde
com
. Precisamos mostrar que
é linear e que
.
Passo 2
Em soma direta, a decomposição de um vetor
como
é única. Isso garante que a definição
não dependa de escolha:
está bem-definida.
Passo 3
Para a aditividade, seja
e
. Então
e o componente em
Passo 4
Para homogeneidade, com
e
, temos
e o componente em
Passo 5
Portanto
é linear.
Passo 6
Para mostrar
, note que, se
, então
. Mas
já está em
, logo
Passo 7
Isto é,
.
Resposta
E é uma transformação linear e satisfaz E^2 = E.