11 Suponha V=W1 oplus cdots oplus Wr. A projeção de V no seu subespaço Wk é a transformação E: V V definida por E(v)=wk, onde v=w1+w2+ldots+wr, wi in Wi. Mostre que (i) E é linear, (ii) E^2=E.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma decomposição direta V = W1 oplus cdots oplus Wr e que a projeção Ecolon V to V sobre Wk é dada por E(v)=wk, onde v=w1+cdots+wr com wiin Wi. Precisamos mostrar que E é linear e que E^2=E.

Passo 2

Em soma direta, a decomposição de um vetor v como v=w1+cdots+wr é única. Isso garante que a definição E(v)=wk não dependa de escolha: E está bem-definida.

Passo 3

Para a aditividade, seja v=w1+cdots+wr e u=u1+cdots+ur. Então
v+u=(w1+u1)+cdots+(wr+ur)
e o componente em Wk de v+u é wk+uk. Assim
E(v+u)=wk+uk=E(v)+E(u)

Passo 4

Para homogeneidade, com cinF e v=w1+cdots+wr, temos
cv=cw1+cdots+cwr
e o componente em Wk é c wk. Logo
E(cv)=c wk = cE(v)

Passo 5

Portanto E é linear.

Passo 6

Para mostrar E^2=E, note que, se v=w1+cdots+wr, então E(v)=wk. Mas wk já está em Wk, logo
E(E(v))=E(wk)=wk=E(v)

Passo 7

Isto é, E^2=E.

Resposta

E é uma transformação linear e satisfaz E^2 = E.

Exercícios relacionados