10 Seja
um subespaço de
gerado por
e
. Encontre uma base do complemento ortogonal
de
.
Passo 1
Enunciado resumido: temos o subespaço W⊆ℝ⁵ gerado pelos vetores u=(1,2,3,−1,2) e v=(2,4,7,2,−1). O conteúdo aqui é complemento ortogonal, ou seja, queremos todos os x=(x₁,…,x₅) tais que x·u=0 e x·v=0. Para resolver, vamos montar um sistema linear pelas condições de produto interno e então parametrizar a solução.
Passo 2
Escrevemos as duas equações do produto interno igual a zero:
Passo 3
Representamos isso como matriz (sem o termo independente, que é zero):
Passo 4
Aplicamos eliminação de Gauss. Primeiro fazemos L₂←L₂−2L₁:
Passo 5
Em seguida eliminamos o 3 de L₁: fazemos L₁←L₁−3L₂, obtendo
Passo 6
Agora interpretamos as sistema escalonado:
Passo 7
Definimos variáveis livres: seja s=x₂, t=x₄ e r=x₅. Então
Passo 8
Logo um vetor genérico em W^⊥ é
Passo 9
Dessa forma, os três vetores acima formam uma base de W^⊥.
Resposta
Uma base de
é {(-2,1,0,0,0),,(13,0,-4,1,0),,(-17,0,5,0,1)}.