10 Seja W um subespaço de R^5 gerado por u=(1,2,3,-1,2) e v=(2,4,7,2,-1). Encontre uma base do complemento ortogonal W^perp de W.

Passo 1

Enunciado resumido: temos o subespaço W⊆ℝ⁵ gerado pelos vetores u=(1,2,3,−1,2) e v=(2,4,7,2,−1). O conteúdo aqui é complemento ortogonal, ou seja, queremos todos os x=(x₁,…,x₅) tais que x·u=0 e x·v=0. Para resolver, vamos montar um sistema linear pelas condições de produto interno e então parametrizar a solução.

Passo 2

Escrevemos as duas equações do produto interno igual a zero:
x1+2x2+3x3-x4+2x5=0,
2x1+4x2+7x3+2x4-x5=0

Passo 3

Representamos isso como matriz (sem o termo independente, que é zero):
1&2&3&-1&22&4&7&2&-1

Passo 4

Aplicamos eliminação de Gauss. Primeiro fazemos L₂←L₂−2L₁:
1&2&3&-1&20&0&1&4&-5

Passo 5

Em seguida eliminamos o 3 de L₁: fazemos L₁←L₁−3L₂, obtendo
1&2&0&-13&170&0&1&4&-5

Passo 6

Agora interpretamos as sistema escalonado:
x1+2x2-13x4+17x5=0,
x3+4x4-5x5=0

Passo 7

Definimos variáveis livres: seja s=x₂, t=x₄ e r=x₅. Então
x1=-2s+13t-17r,
x3=-4t+5r

Passo 8

Logo um vetor genérico em W^⊥ é
(x1,x2,x3,x4,x5)=s(-2,1,0,0,0)+t(13,0,-4,1,0)+r(-17,0,5,0,1)

Passo 9

Dessa forma, os três vetores acima formam uma base de W^⊥.

Resposta

Uma base de W^perp é {(-2,1,0,0,0),,(13,0,-4,1,0),,(-17,0,5,0,1)}.

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