9 Mostre que se é ortogonal a , então todo múltiplo escalar de é também ortogonal a . Encontre um vetor unitário ortogonal a e em .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que se um vetor é ortogonal a , então qualquer múltiplo escalar de também é ortogonal a ; (2) encontrar um vetor unitário em que seja ortogonal aos vetores e . Vamos usar conceitos de produto escalar para a primeira parte e produto vetorial e normalização para a segunda.
Passo 2
Para mostrar que todo múltiplo escalar de é ortogonal a , lembramos que dois vetores são ortogonais se seu produto escalar é zero. Sabendo que e tomando um escalar , temos
Portanto é ortogonal a .
Passo 3
Para achar um vetor ortogonal a e , usamos o produto vetorial, pois é perpendicular a ambos. Calculamos:
Passo 4
Agora normalizamos w=(1,-3,1). Primeiro calculamos sua norma:
|w| = raiz1^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz11
O vetor unitário na direção de w é dado por w/|w|.
Resposta
Um vetor unitário ortogonal a v1 e v2 é l(tfrac1raiz11,-tfrac3raiz11,tfrac1raiz11r).