9 Mostre que se u é ortogonal a v, então todo múltiplo escalar de u é também ortogonal a v. Encontre um vetor unitário ortogonal a v1=(1,1,2) e v2=(0,1,3) em R^3.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que se um vetor u é ortogonal a v, então qualquer múltiplo escalar de u também é ortogonal a v; (2) encontrar um vetor unitário em R^3 que seja ortogonal aos vetores v1=(1,1,2) e v2=(0,1,3). Vamos usar conceitos de produto escalar para a primeira parte e produto vetorial e normalização para a segunda.

Passo 2

Para mostrar que todo múltiplo escalar de u é ortogonal a v, lembramos que dois vetores são ortogonais se seu produto escalar é zero. Sabendo que ucdot v=0 e tomando um escalar alphainR, temos
(alpha u)cdot v = alpha,(ucdot v) = alphacdot 0 = 0
Portanto alpha u é ortogonal a v.

Passo 3

Para achar um vetor ortogonal a v1 e v2, usamos o produto vetorial, pois v1times v2 é perpendicular a ambos. Calculamos:
w = v1 times v2 = det i & j & k 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 = (1cdot3 - 2cdot1,,-(1cdot3 - 2cdot0),,1cdot1 - 1cdot0) = (1,-3,1)

Passo 4

Agora normalizamos w=(1,-3,1). Primeiro calculamos sua norma:
|w| = raiz1^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz11
O vetor unitário na direção de w é dado por w/|w|.

Resposta

Um vetor unitário ortogonal a v1 e v2 é l(tfrac1raiz11,-tfrac3raiz11,tfrac1raiz11r).

Exercícios relacionados