Verifique se cada um dos conjuntos abaixo gera o espaço : ;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto X = {(1,1,1), (1,2,3), (0,0,2)} gera o espaço E = ℝ³. O conteúdo envolvido é geração de espaços vetoriais e vamos precisar checar se esses três vetores são linearmente independentes (ou, equivalentemente, se a matriz 3×3 formada por eles tem determinante não nulo).
Passo 2
Para testar geração, formamos a matriz A cujas linhas (ou colunas) são os vetores de X. Se ,det(A), for diferente de zero, então o posto de A é 3 e X gera ℝ³. Montamos:
Passo 3
Calculamos o determinante por expansão na primeira linha: