Verifique se cada um dos conjuntos X abaixo gera o espaço E :
X=(1,1,1),(1,2,3),(0,0,2), E=R^3;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto X = {(1,1,1), (1,2,3), (0,0,2)} gera o espaço E = ℝ³. O conteúdo envolvido é geração de espaços vetoriais e vamos precisar checar se esses três vetores são linearmente independentes (ou, equivalentemente, se a matriz 3×3 formada por eles tem determinante não nulo).

Passo 2

Para testar geração, formamos a matriz A cujas linhas (ou colunas) são os vetores de X. Se ,det(A), for diferente de zero, então o posto de A é 3 e X gera ℝ³. Montamos:
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 0 & 0 & 2

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet2 & 30 & 2 - 1cdotdet1 & 30 & 2 + 1cdotdet1 & 20 & 0 = 1cdot(2cdot2 - 3cdot0) - 1cdot(1cdot2 - 3cdot0) + 1cdot(1cdot0 - 2cdot0) = 4 - 2 + 0 = 2 neq 0

Resposta

Sim, X gera o espaço E = ℝ³, pois det(A)=2neq0.

Exercícios relacionados