11 Encontre uma base ortonormal do subespaço W de C^3 gerado por v1=(1, i, 0) e v2=(1,2,1-i). Encontre uma base do complemento ortogonal W^perp de W.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de W e uma base de W^⊥ em ℂ^3. Vamos usar Gram–Schmidt com o produto interno hermitiano para achar uma base ortonormal de W e depois resolver <x,v₁>=0, <x,v₂>=0 para achar W^⊥.

Passo 2

Calcular o primeiro vetor ortonormal. Primeiro a norma de v₁: |v₁|^2=|1|^2+|i|^2+|0|^2=2. Então
u1=v1|v1|=l(tfrac1raiz2,tfraciraiz2,0r)

Passo 3

Projetar v₂ em u₁ e obter o segundo vetor ortogonal. O produto interno é
<u₁,v₂>=\overline{\tfrac1{\sqrt2}}·1+\overline{\tfrac{i}{\sqrt2}}·2+0·(1-i)=\frac{1-2i}{\sqrt2},
o que dá a projeção
$$\mathrm{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{1-2i}{\sqrt2},u_1=\Bigl(\tfrac{1-2i}2,\tfrac{i+2}2,0\Bigr).
$$Logo o vetor ortogonal é
$$w_2=v_2-\mathrm{proj}_{u_1}(v_2)=\Bigl(\tfrac{1+2i}2,\tfrac{2-i}2,1-i\Bigr).
$$

Passo 4

Calcular a norma de w₂:
$$|w_2|^2=\tfrac54+\tfrac54+2=\tfrac92,
$$logo |w2|^2=tfrac54+tfrac54+2=tfrac92, . Então o segundo vetor ortonormal é
$$u_2=\frac{w_2}{|w_2|}=\frac{\sqrt2}{6},(1+2i,,2-i,,2-2i).
$$

Passo 5

Portanto uma base ortonormal de W é
$$\Bigl{,(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac{i}{\sqrt2},0),;\tfrac{\sqrt2}{6}(1+2i,2-i,2-2i)\Bigr}.
$$

Passo 6

Para achar W^⊥, seja x=(x,y,z) e impomos <x,v₁>=0 e <x,v₂>=0. A primeira dá
$$\overline x+ i\overline y=0\implies x=-i,y.
$$A segunda é
$$\overline x+2\overline y+(1-i)\overline z=0.
$$Substituindo overline x+ ioverline y=0implies x=-i,y obtém-se
overline x+2overline y+(1-i)overline z=0 Logo
$$z=-\tfrac{1-3i}2,y.
$$

Passo 7

Escolhendo convenientemente y=2 para eliminar denominadores, um gerador de W^⊥ é
$$(-2i,2,-1+3i).
$$

Resposta

Base ortonormal de W: (tfrac1raiz2,tfraciraiz2,0),;tfracraiz26(1+2i,2-i,2-2i). Base de W^⊥: {(-2i,2,-1+3i)}.

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