Verifique se cada um dos conjuntos X abaixo gera o espaço E :
X=(1,1,1),(1,2,3),(0,0,2),(0,1,-1), E=R^3;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores X=(1,1,1),(1,2,3),(0,0,2),(0,1,-1) gera o espaço E=R^3. O conteúdo aqui é sistema gerador e para resolver precisamos mostrar que span(X)=R^3, ou seja, que a dimensão do espaço gerado por esses vetores é 3.

Passo 2

Uma maneira prática é verificar se há três vetores de X que sejam linearmente independentes em R^3. Se encontrarmos um conjunto de três vetores de X com determinante não nulo ao formar a matriz 3×3, isso garante que dim(span(X))=3.

Passo 3

Escolhemos, por exemplo, os vetores v1=(1,1,1), v2=(1,2,3) e v4=(0,1,-1). Montamos a matriz
M= 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 0 & 1 & -1

Passo 4

Calculando o determinante por expansão na primeira linha, obtemos
det(M)=1cdot((-1)cdot2-3cdot1)-1cdot(1cdot(-1)-3cdot0)+1cdot(1cdot1-2cdot0)=-5+1+1=-3neq0

Passo 5

Como det(M)neq0, os vetores escolhidos são linearmente independentes, logo formam uma base de R^3. Isso implica que span(X)=R^3.

Resposta

Sim, o conjunto X gera E=R^3.

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