(10) Sejam u=5 imath-jmath+k, v=jmath-5 k, w=-15 imath+3 jmath-3 k. Quais vetores, se é que existem, são (a) perpendiculares? (b) Paralelos? Justifique suas respostas.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
vec u = 5hatimath - hatjmath + hat k, vec v = hatjmath - 5hat k, vec w = -15hatimath + 3hatjmath -3hat k,
e pede (a) quais pares são perpendiculares e (b) quais são paralelos. Para (a) vamos usar o produto escalar: dois vetores são perpendiculares se, e somente se, seu produto escalar for zero. Para (b) vamos verificar se existe escalar k tal que um vetor seja múltiplo de outro.

Passo 2

Calcular os produtos escalares de todos os pares:
vec ucdotvec v = 5cdot0 + (-1)cdot1 + 1cdot(-5) = -1 -5 = -6,
vec ucdotvec w = 5cdot(-15) + (-1)cdot3 + 1cdot(-3) = -75 -3 -3 = -81,
vec vcdotvec w = 0cdot(-15) + 1cdot3 + (-5)cdot(-3) = 3 +15 = 18
Nenhum desses produtos escalares é zero, logo não há vetores perpendiculares.

Passo 3

Verificar paralelismo testando proporção entre componentes. Para vec u e vec w:
-155 = 3-1 = -31 = -3,
ou seja vec w = -3,vec u, logo vec u e vec w são paralelos. Nos outros pares não existe um escalar comum que iguale as três componentes simultaneamente, então não são paralelos.

Resposta

(a) Não há pares de vetores perpendiculares.
(b) Apenas vec u e vec w são paralelos, pois vec w = -3,vec u.

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