(9) Verifique que (u times v) cdot w=(v times w) cdot u=(w times u) cdot v e encontre o volume da caixa (paralelepípedo) determinada por u, v e w.
(a) u=2 imath+jmath, v=2 imath-jmath+k e w=imath+2 k,

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade cíclica do produto escalar triplo
(utimesv)cdotw=(vtimesw)cdotu=(wtimesu)cdotv
e em seguida calcular o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores
u=2hatimath+hatjmath, v=2hatimath-hatjmath+hat k e w=hatimath+2hat k.
Para isso, vamos usar definição de produto vetorial e produto escalar, e a propriedade de que o volume é o valor absoluto do produto escalar triplo.

Passo 2

Recordando definições:
– O produto vetorial de a=(a1,a2,a3) e b=(b1,b2,b3) é
atimesb = l(a2b3 - a3b2,;a3b1 - a1b3,;a1b2 - a2b1r)
– O produto escalar triplo (atimesb)cdotc é um número e o volume do paralelepípedo é
V = l|(atimesb)cdotcr|

Passo 3

Calcular utimesv. Escrevendo coordenadas:
u=(2,1,0), v=(2,-1,1).
utimesv =l(1cdot1 - 0cdot(-1),;0cdot2 - 2cdot1,;2cdot(-1) - 1cdot2r) =(1,,-2,,-4)

Passo 4

Agora (utimesv)cdotw. Como w=(1,0,2),
(utimesv)cdotw =(1,,-2,,-4)cdot(1,0,2) =1cdot1 + (-2)cdot0 + (-4)cdot2 =1 - 8 =-7

Passo 5

Calcular vtimesw e depois dot com u.
vtimesw =l((-1)cdot2 - 1cdot0,;1cdot1 - 2cdot2,;2cdot0 - (-1)cdot1r) =(-2,,-3,;1)
(vtimesw)cdotu =(-2,,-3,1)cdot(2,1,0) =-4 -3 +0 =-7

Passo 6

Calcular wtimesu e dot com v.
wtimesu =l(0cdot0 - 2cdot1,;2cdot2 - 1cdot0,;1cdot1 - 0cdot2r) =(-2,;4,;1)
(wtimesu)cdotv =(-2,4,1)cdot(2,-1,1) =-4 -4 +1 =-7
Portanto todos os produtos escalar-triplos valem -7, confirmando a igualdade cíclica.

Passo 7

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto escalar triplo:
V = l|(utimesv)cdotwr| = lvert -7rvert = 7

Resposta

(utimesv)cdotw=(vtimesw)cdotu=(wtimesu)cdotv=-7,
volume V=7.

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