(9) Verifique que e encontre o volume da caixa (paralelepípedo) determinada por e . e .
Passo 1
O enunciado pede para verificar a igualdade cíclica do produto escalar triplo
e depois usar esse valor para encontrar o volume do paralelepípedo determinado por .
Aqui o conteúdo é produto vetorial, produto escalar e o produto escalar triplo em geometria vetorial.
Passo 2
Calcular e depois o escalar .
Escrevendo os vetores em coordenadas:
O produto vetorial é
Passo 3
Calcular vec vtimesvec w e depois (vec vtimesvec w)cdotvec u.
vec vtimesvec w = hatimath&hatjmath&hat k -1&0&-1 2&4&-2 =4hatimath-4hatjmath-4hat k Longrightarrow (vec vtimesvec w)cdotvec u =4cdot1+(-4)cdot1+(-4)cdot(-2)=8
Passo 4
Calcular vec wtimesvec u e depois (vec wtimesvec u)cdotvec v.
vec wtimesvec u = hatimath&hatjmath&hat k 2&4&-2 1&1&-2 =-6hatimath+2hatjmath-2hat k Longrightarrow (vec wtimesvec u)cdotvec v =(-6)cdot(-1)+2cdot0+(-2)cdot(-1)=8
Assim confirmamos a igualdade cíclica e que o produto escalar triplo vale 8.
Passo 5
O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto escalar triplo:
V=l|(vec utimesvec v)cdotvec wr|=|8|=8
Resposta
O produto escalar triplo em todas as permutações vale 8 e o volume do paralelepípedo é 8.