(9) Verifique que (u times v) cdot w=(v times w) cdot u=(w times u) cdot v e encontre o volume da caixa (paralelepípedo) determinada por u, v e w.
u=imath+jmath-2 k, v=-imath-k e w=2 imath+4 jmath-2 k.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade cíclica do produto escalar triplo
(vec utimesvec v)cdotvec w=(vec vtimesvec w)cdotvec u=(vec wtimesvec u)cdotvec v
e depois usar esse valor para encontrar o volume do paralelepípedo determinado por vec u,vec v,vec w.
Aqui o conteúdo é produto vetorial, produto escalar e o produto escalar triplo em geometria vetorial.

Passo 2

Calcular vec utimesvec v e depois o escalar (vec utimesvec v)cdotvec w.
Escrevendo os vetores em coordenadas:
vec u=(1,1,-2), vec v=(-1,0,-1), vec w=(2,4,-2)
O produto vetorial é
vec utimesvec v = hatimath&hatjmath&hat k 1&1&-2 -1&0&-1 =-hatimath+3hatjmath+1hat k Longrightarrow (vec utimesvec v)cdotvec w =(-1)cdot2+3cdot4+1cdot(-2)=8

Passo 3

Calcular vec vtimesvec w e depois (vec vtimesvec w)cdotvec u.
vec vtimesvec w = hatimath&hatjmath&hat k -1&0&-1 2&4&-2 =4hatimath-4hatjmath-4hat k Longrightarrow (vec vtimesvec w)cdotvec u =4cdot1+(-4)cdot1+(-4)cdot(-2)=8

Passo 4

Calcular vec wtimesvec u e depois (vec wtimesvec u)cdotvec v.
vec wtimesvec u = hatimath&hatjmath&hat k 2&4&-2 1&1&-2 =-6hatimath+2hatjmath-2hat k Longrightarrow (vec wtimesvec u)cdotvec v =(-6)cdot(-1)+2cdot0+(-2)cdot(-1)=8
Assim confirmamos a igualdade cíclica e que o produto escalar triplo vale 8.

Passo 5

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto escalar triplo:
V=l|(vec utimesvec v)cdotvec wr|=|8|=8

Resposta

O produto escalar triplo em todas as permutações vale 8 e o volume do paralelepípedo é 8.

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