Como os dois lados são iguais ao mesmo determinante, concluímos que a igualdade vale sempre.
Resposta
A igualdade
(vec u times vec v)cdot vec w =vec ucdot(vec v times vec w)
é sempre verdadeira em R^3, pois ambas são expressões do mesmo determinante (produto misto) e o determinante é invariante sob permutações cíclicas das linhas.