(11) Quais da igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique a sua resposta.
(a) (u times v) cdot w=u cdot(v times w),

Passo 1

O enunciado pergunta se, para quaisquer vetores vec u,vec v,vec w em R^3, vale sempre
(vec u times vec v)cdot vec w ;=;vec ucdot(vec v times vec w)
Isso envolve a noção de produto misto (ou triplo escalar) e a propriedade de permutação cíclica de determinantes.

Passo 2

Vamos mostrar que ambas as expressões representam o mesmo determinante. Seja
vec u=(u1,u2,u3),
vec v=(v1,v2,v3) e
vec w=(w1,w2,w3).
Então
vec u times vec v = l(u2v3 - u3v2,;u3v1 - u1v3,;u1v2 - u2v1r)
e, ao fazer o produto escalar com vec w, obtemos
(vec u times vec v)cdot vec w =(u2v3 - u3v2),w1 +(u3v1 - u1v3),w2 +(u1v2 - u2v1),w3
Por definição de determinante de matriz 3times3, isso é exatamente
det u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3

Passo 3

Agora, calculemos
vec ucdot(vec vtimes vec w). Em componentes,
vec v times vec w = l(v2w3 - v3w2,;v3w1 - v1w3,;v1w2 - v2w1r)
e
vec ucdot(vec vtimes vec w) =u1(v2w3 - v3w2) +u2(v3w1 - v1w3) +u3(v1w2 - v2w1),
o que também é
det u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3
Como os dois lados são iguais ao mesmo determinante, concluímos que a igualdade vale sempre.

Resposta

A igualdade
(vec u times vec v)cdot vec w =vec ucdot(vec v times vec w)
é sempre verdadeira em R^3, pois ambas são expressões do mesmo determinante (produto misto) e o determinante é invariante sob permutações cíclicas das linhas.

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