Seja A=(xa, ya), B=(xb, yb) e C=(xc, yc) os vértices de um triângulo De<a no plano. Calcule as coordendas dos seguintes pontos associados ao triângulo De<a.
ortocentro (encontro das três alturas).

Passo 1

O problema pede o ortocentro H de um triângulo cujos vértices são
A=(xa,ya), B=(xb,yb), C=(xc,yc)
O ortocentro é o encontro de duas alturas quaisquer (por exemplo as que saem de A e de B). Para achar H, vamos:
1. Escrever a equação da altura por A.
2. Escrever a equação da altura por B.
3. Resolver o sistema linear obtido (essas duas retas) por Cramer.

Passo 2

A reta BC tem vetor diretor l(xc-xb,,yc-ybr). Uma altura por A é perpendicular a BC, logo sua equação é
(y - ya)(xc - xb) ;+;(x - xa)(yc - yb) ;=;0
Desenvolvendo, podemos escrever em forma padrão
a1,x + b1,y + c1=0,
onde
a1=yc-yb, b1=xc-xb, c1=-,ya,(xc-xb) ;-;xa,(yc-yb)

Passo 3

Analogamente, a altura por B é perpendicular a AC. Começamos do vetor diretor de AC, l(xc-xa,,yc-yar), e obtemos
(y - yb)(xc - xa) ;+;(x - xb)(yc - ya) ;=;0,
que em forma padrão é
a2,x + b2,y + c2=0,
onde
a2=yc-ya, b2=xc-xa, c2=-,yb,(xc-xa) ;-;xb,(yc-ya)

Passo 4

O ortocentro H=(xH,yH) é a solução do sistema
a1x + b1y + c1=0, a2x + b2y + c2=0
Pela regra de Cramer,
xH=, -c1 & b1 -c2 & b2, a1 & b1 a2 & b2 ;=;b1c2-b2c1a1b2-a2b1,
yH=, a1 & -c1 a2 & -c2, a1 & b1 a2 & b2 ;=;a2c1-a1c2a1b2-a2b1

Passo 5

Bastou substituir
a1=yc-yb,;b1=xc-xb,; c1=-ya(xc-xb)-xa(yc-yb),
a2=yc-ya,;b2=xc-xa,; c2=-yb(xc-xa)-xb(yc-ya)
nas fórmulas de Cramer.

Resposta

xH =(xc-xb)l[-yb(xc-xa)-xb(yc-ya)r] ;-;(xc-xa)l[-ya(xc-xb)-xa(yc-yb)r] (yc-yb)(xc-xa)-(yc-ya)(xc-xb),
yH =(yc-ya)l[-ya(xc-xb)-xa(yc-yb)r] ;-;(yc-yb)l[-yb(xc-xa)-xb(yc-ya)r] (yc-yb)(xc-xa)-(yc-ya)(xc-xb)
Essas expressões dão as coordenadas do ortocentro em função de A, B e C.

Exercícios relacionados