10- Sendo i a taxa nominal e k a quantidade de capitalizações para um período de taxa nominal e considerando o regime de capitalização de juros compostos, mostre que
F V=P V\left(1+\frac{i}{k}\right)^{k n} .

Passo 1

O enunciado diz que temos um valor presente \mathrm{PV}, uma taxa nominal anual i capitalizada k vezes por ano e queremos o valor futuro \mathrm{FV} após n anos, sob regime de juros compostos. Para resolver, precisamos (a) encontrar a taxa efetiva em cada período de capitalização e (b) contar quantos períodos ocorrem em n anos.

Passo 2

Como a taxa nominal anual é i dividida em k capitalizações iguais por ano, a taxa de juros em cada subperíodo vale
j = \frac{i}{k}.

Passo 3

Em n anos, com k capitalizações por ano, o número total de subperíodos de capitalização é
m = k \,n.

Passo 4

Pela regra de juros compostos, cada subperíodo faz o montante crescer pelo fator \bigl(1+j\bigr). Após m subperíodos, o valor futuro é
\mathrm{FV} = \mathrm{PV}\,\bigl(1+j\bigr)^{m}.
Substituindo j = \tfrac{i}{k} e m = k\,n, obtemos
\mathrm{FV} = \mathrm{PV}\,\biggl(1+\frac{i}{k}\biggr)^{k\,n}.

Resposta

\mathrm{FV} = \mathrm{PV}\,\biggl(1+\frac{i}{k}\biggr)^{k\,n}.

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