8.10 Show that, if a sequence x is odd, then \sum_{k=-n}^{n} x(k)=0, where n is a nonnegative integer constant.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma sequência x é ímpar, então
\sum_{k=-n}^{n} x(k)=0,
onde n é um inteiro não negativo fixo. As informações relevantes que temos são:
  • A sequência x é ímpar, isto é, para todo inteiro k vale x(-k) = -x(k).
  • O somatório a avaliar é \displaystyle \sum_{k=-n}^{n} x(k) com n\in\{0,1,2,\dots\}.

Passo 2

Explicar uma consequência imediata da definição de sequência ímpar: tomando k=0 na relação x(-k)=-x(k) obtemos
x(0)= -x(0).
Somando x(0) em ambos os lados resulta
2x(0)=0,
logo
x(0)=0.
Isso é importante porque o índice 0 aparece no somatório \sum_{k=-n}^{n}.

Passo 3

Definimos o somatório que queremos estudar como
S:=\sum_{k=-n}^{n} x(k).
Antes de manipular, verifiquemos o caso trivial n=0: então
S=\sum_{k=0}^{0} x(k)=x(0).
Pelo Passo 2 temos x(0)=0, portanto para n=0 a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Agora suponha n\ge 1. Vamos reescrever o somatório separando os termos negativos, o termo k=0 e os termos positivos. Usando a linearidade (adição) de somatórios finitos,
S=\sum_{k=-n}^{-1} x(k) + x(0) + \sum_{k=1}^{n} x(k).
Fazer essa separação é apenas dividir a soma em três blocos: índices negativos, índice zero e índices positivos.

Passo 5

Reescrevemos a soma dos índices negativos trocando a variável de soma: para cada k com 1\le k\le n corresponde um índice -k no bloco negativo. Assim podemos colocar os termos negativos em correspondência com os positivos:
\sum_{k=-n}^{-1} x(k) = \sum_{k=1}^{n} x(-k).
Substituindo na expressão de S obtemos
S = \sum_{k=1}^{n} x(-k) + x(0) + \sum_{k=1}^{n} x(k).
Agora agrupamos os termos de mesma k positiva:
S = x(0) + \sum_{k=1}^{n} \bigl(x(k) + x(-k)\bigr).

Passo 6

Usamos a propriedade de sequência ímpar x(-k)=-x(k) para cada k\ge 1. Portanto para cada k\in\{1,\dots,n\} vale
x(k) + x(-k) = x(k) + \bigl(-x(k)\bigr) = 0.
Logo o somatório das parcelas emparelhadas é zero:
\sum_{k=1}^{n} \bigl(x(k) + x(-k)\bigr) = \sum_{k=1}^{n} 0 = 0.
Substituindo isso em S do Passo 5 e lembrando x(0)=0 (Passo 2), obtemos
S = x(0) + 0 = 0 + 0 = 0.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar a ideia: suponha n=2 e que x seja ímpar com x(1)=3 e x(2)=5. Então x(-1)=-3 e x(-2)=-5. O somatório é
\sum_{k=-2}^{2} x(k) = x(-2)+x(-1)+x(0)+x(1)+x(2) = (-5)+(-3)+0+3+5 = 0,
confirmando a propriedade por um exemplo concreto.

Resposta

0

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