8.10 Show that, if a sequence
is odd, then
, where
is a nonnegative integer constant.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma sequência
é ímpar, então
onde
é um inteiro não negativo fixo. As informações relevantes que temos são:
- A sequência
é ímpar, isto é, para todo inteiro vale - O somatório a avaliar é
com .
Passo 2
Explicar uma consequência imediata da definição de sequência ímpar: tomando
na relação
obtemos
Somando
em ambos os lados resulta
logo
Isso é importante porque o índice
aparece no somatório
.
Passo 3
Definimos o somatório que queremos estudar como
Antes de manipular, verifiquemos o caso trivial
: então
Pelo Passo 2 temos
, portanto para
a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Agora suponha
. Vamos reescrever o somatório separando os termos negativos, o termo
e os termos positivos. Usando a linearidade (adição) de somatórios finitos,
Fazer essa separação é apenas dividir a soma em três blocos: índices negativos, índice zero e índices positivos.
Passo 5
Reescrevemos a soma dos índices negativos trocando a variável de soma: para cada
com
corresponde um índice
no bloco negativo. Assim podemos colocar os termos negativos em correspondência com os positivos:
Substituindo na expressão de
obtemos
Agora agrupamos os termos de mesma
positiva:
Passo 6
Usamos a propriedade de sequência ímpar
para cada
. Portanto para cada
vale
Logo o somatório das parcelas emparelhadas é zero:
Substituindo isso em
do Passo 5 e lembrando
(Passo 2), obtemos
Passo 7
Exemplo rápido para fixar a ideia: suponha
e que
seja ímpar com
e
. Então
e
. O somatório é
confirmando a propriedade por um exemplo concreto.