Determine C_{1} e C_{2} de modo que a função y=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{-x} satisfaça a condições iniciais y(0)=y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar as constantes C_{1} e C_{2} de modo que a função
y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x}
satisfaça as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. O conteúdo aqui é ajustar a solução geral de uma EDO homogênea aos dados iniciais.

Passo 2

Avaliar y em x=0. Temos
y(0) = C_{1}e^{0} + C_{2}e^{0} = C_{1} + C_{2}.
Como y(0)=1, obtemos a primeira equação do sistema:
C_{1} + C_{2} = 1.

Passo 3

Calcular y'(x) e avaliar em x=0. A derivada é
y'(x) = C_{1}e^{x} - C_{2}e^{-x},
então
y'(0) = C_{1} - C_{2}.
Como y'(0)=1, temos a segunda equação:
C_{1} - C_{2} = 1.

Passo 4

Resolver o sistema linear
\begin{cases} C_{1} + C_{2} = 1,\\\ C_{1} - C_{2} = 1. \end{cases}
Somando as equações dá 2C_{1} = 2, logo C_{1}=1. Substituindo em C_{1}+C_{2}=1 resulta em C_{2}=0.

Resposta

C_{1} = 1 e C_{2} = 0.

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