Mostre que a \mathrm{EDO} y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0 \mathrm{com} as condições iniciais y(0)=0 e y^{\prime}(0)=1 tem solução igual a y=e^{-x}-e^{-2 x}.

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = 0
e condições iniciais \;y(0)=0 e \;y'(0)=1.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos solução do tipo \,y=e^{r x}. Substituindo em
y'' + 3y' + 2y = 0
obtemos a equação característica
r^2 + 3r + 2 = 0.
Resolvendo
r^2 + 3r + 2 = (r+1)(r+2)=0
vem \,r_1=-1 e \,r_2=-2.
Logo, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Impondo y(0)=0
y(0)=C_1 + C_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = -C_1.
Derivando a solução geral,
y'(x) = -C_1 e^{-x} \;-\;2C_2 e^{-2x},
e impondo y'(0)=1 resulta em
y'(0) = -C_1 - 2C_2 = 1.
Substituindo C_2=-C_1 em -C_1 - 2C_2 = 1 obtemos
-C_1 - 2(-C_1) = -C_1 + 2C_1 = C_1 = 1,
logo C_1=1 e C_2=-1.

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = e^{-x} - e^{-2x}.

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