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Maria tem 10 anéis idênticos e quer distribuí-los pelos 10 dedos de suas mãos. De quantas maneiras diferentes ela pode fazer isto? Suponha que é possível colocar todos os anéis em qualquer um dos dedos.

Passo 1

O enunciado diz que Maria tem 10 anéis idênticos e quer distribuí-los pelos 10 dedos (distintos) das suas mãos, sem limite de quantos anéis cabem em cada dedo. O conteúdo usado será a técnica de “estrelas e barras” para contar distribuições de objetos indistinguíveis em recipientes distinguíveis.

Passo 2

Vamos chamar x_i o número de anéis no dedo i, para i=1,2,\dots,10. Como ela usa todos os 10 anéis, temos a condição de soma
x_1 + x_2 + \cdots + x_{10} = 10
com cada x_i\ge0 inteiro.

Passo 3

A teoria de “estrelas e barras” diz que o número de soluções não-negativas inteiras de
x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n
é
\binom{n + k - 1}{k - 1}.

Passo 4

Aqui n=10 anéis e k=10 dedos, logo o total de distribuições possíveis é
\binom{10 + 10 - 1}{10 - 1} = \binom{19}{9}.

Passo 5

Basta calcular o binomial:
\binom{19}{9} = 92378.

Resposta

92378 maneiras diferentes.

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