10- Suponha que você conseguiu obter a constante elástica da “mola” interatômica de um material,
, cuja massa atômica é
, e a “amplitude” de oscilação de um átomo deste material,
. Qual é aproximadamente o valor de N , o “número quântico”, para este átomo? (Esse oscilador está quantos níveis acima do estado fundamental?) Utilize
J.s para a constante de Planck.
Passo 1
O enunciado pede que a gente estime o “número quântico”
(quantos níveis acima do estado fundamental) de um átomo modelado como oscilador harmônico, usando os dados fornecidos. Dados do enunciado:
(constante elástica interatômica),
(massa atômica),
(amplitude da oscilação),
(constante reduzida de Planck).
Perguntas explícitas: qual é aproximadamente o valor de ? e esse oscilador está quantos níveis acima do estado fundamental?
Perguntas explícitas: qual é aproximadamente o valor de
Passo 2
Princípio usado (explicado): para o oscilador harmônico quântico os níveis de energia são quantizados segundo a fórmula
onde:
-
é a energia do nível quântico com número (com sendo o estado fundamental), -
é a constante reduzida de Planck (dada), -
é a frequência angular do oscilador (em ), -
é o número quântico que queremos (vou chamar de quando responder).
Explicação física: classicamente, a energia total de um oscilador numa amplitude máximaé armazenada como energia potencial elástica
porque no ponto de viragem a energia cinética é zero e toda a energia é potencial. Em uma aproximação semiclasica (ou simplesmente igualando energia clássica e energia quântica do nível ocupado), podemos escrever
Portanto isolamos
por
Também precisamos da relação entre
,
e
:
Aqui
é a constante elástica
e
é a massa (kg). Todas essas fórmulas são padrão do oscilador harmônico — eu explicitei o que cada símbolo significa para você poder usar direto na prova.
Passo 3
Calcule a massa em notação conveniente:
Passo 4
Calcule
com os valores dados.
logo
Comentário rápido: deu um valor típico de frequências de oscilação atômicas,
.
Passo 5
Calcule a energia clássica associada à amplitude: primeiro
Então
Então
Passo 6
Calcule
:
Passo 7
Agora calcule
:
Portanto
Passo 8
Interpretação e arredondamento: o número quântico
deve ser um inteiro (níveis quantizados), então esse valor diz que o átomo está por volta do nível
. Em termos de “quantos níveis acima do estado fundamental”: como o estado fundamental é
, estamos aproximadamente
níveis acima do fundamental (ou mais precisamente entre o
e o
, muito próximo do
).