10- Suponha que você conseguiu obter a constante elástica da “mola” interatômica de um material, \mathrm{km}=20 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, cuja massa atômica é \mathrm{ma}=20 \times 10-30 \mathrm{~kg}, e a “amplitude” de oscilação de um átomo deste material, \mathrm{A}=6 \times 10-10 \mathrm{~m}. Qual é aproximadamente o valor de N , o “número quântico”, para este átomo? (Esse oscilador está quantos níveis acima do estado fundamental?) Utilize \hbar=1.05 \times 10-34 J.s para a constante de Planck.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime o “número quântico” N (quantos níveis acima do estado fundamental) de um átomo modelado como oscilador harmônico, usando os dados fornecidos. Dados do enunciado:
\displaystyle k_m = 20\\ \mathrm{N/m} (constante elástica interatômica),
\displaystyle m_a = 20\times 10^{-30}\\ \mathrm{kg} (massa atômica),
\displaystyle A = 6\times 10^{-10}\\ \mathrm{m} (amplitude da oscilação),
\displaystyle \hbar = 1{,}05\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} (constante reduzida de Planck).
Perguntas explícitas: qual é aproximadamente o valor de N? e esse oscilador está quantos níveis acima do estado fundamental?

Passo 2

Princípio usado (explicado): para o oscilador harmônico quântico os níveis de energia são quantizados segundo a fórmula
E_n = \left(n+\tfrac{1}{2}\right)\hbar\omega,
onde:
  • \displaystyle E_n é a energia do nível quântico com número n (com n=0 sendo o estado fundamental),
  • \displaystyle \hbar é a constante reduzida de Planck (dada),
  • \displaystyle \omega é a frequência angular do oscilador (em \mathrm{s^{-1}}),
  • \displaystyle n é o número quântico que queremos (vou chamar de N quando responder).
    Explicação física: classicamente, a energia total de um oscilador numa amplitude máxima A é armazenada como energia potencial elástica
E_{\text{cl}}=\tfrac{1}{2}kA^2,
porque no ponto de viragem a energia cinética é zero e toda a energia é potencial. Em uma aproximação semiclasica (ou simplesmente igualando energia clássica e energia quântica do nível ocupado), podemos escrever
\tfrac{1}{2}kA^2 \approx \left(n+\tfrac{1}{2}\right)\hbar\omega.
Portanto isolamos n por
n \approx \frac{\tfrac{1}{2}kA^2}{\hbar\omega}-\tfrac{1}{2}.
Também precisamos da relação entre \omega, k e m:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui k é a constante elástica \left(\mathrm{N/m}\right) e m é a massa (kg). Todas essas fórmulas são padrão do oscilador harmônico — eu explicitei o que cada símbolo significa para você poder usar direto na prova.

Passo 3

Calcule a massa em notação conveniente: \displaystyle m_a = 20\times 10^{-30}\\ \mathrm{kg} = 2{,}0\times 10^{-29}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcule \omega=\sqrt{k/m} com os valores dados.
\frac{k}{m}=\frac{20}{2{,}0\times 10^{-29}}=1{,}0\times 10^{30}\\ \mathrm{s^{-2}},
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\omega=\sqrt{1{,}0\times 10^{30}}=1{,}0\times 10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Comentário rápido: deu um valor típico de frequências de oscilação atômicas, \sim 10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Calcule a energia clássica associada à amplitude: primeiro \displaystyle A^2=(6\times 10^{-10})^2=36\times 10^{-20}=3{,}6\times 10^{-19}\\ \mathrm{m^2}.
Então
E_{\text{cl}}=\tfrac{1}{2}kA^2=\tfrac{1}{2}\cdot 20\cdot 3{,}6\times 10^{-19}=10\cdot 3{,}6\times 10^{-19}=3{,}6\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcule \hbar\omega:
\hbar\omega=(1{,}05\times 10^{-34})\cdot(1{,}0\times 10^{15})=1{,}05\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Agora calcule \displaystyle n+\tfrac{1}{2}=\frac{E_{\text{cl}}}{\hbar\omega}:
\frac{E_{\text{cl}}}{\hbar\omega}=\frac{3{,}6\times 10^{-18}}{1{,}05\times 10^{-19}} \approx 34{,}2857\ldots
Portanto
n \approx 34{,}2857 - \tfrac{1}{2} = 33{,}7857\ldots

Passo 8

Interpretação e arredondamento: o número quântico n deve ser um inteiro (níveis quantizados), então esse valor diz que o átomo está por volta do nível n\approx 34. Em termos de “quantos níveis acima do estado fundamental”: como o estado fundamental é n=0, estamos aproximadamente 34 níveis acima do fundamental (ou mais precisamente entre o 33^\text{o} e o 34^\text{o}, muito próximo do 34^\text{o}).

Resposta

\displaystyle N\approx 34 (aproximadamente 34 níveis acima do estado fundamental)

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