4- Para os seres humanos, a fonte principal de energia vem da queima de glicose. Ela está presente principalmente no açúcar e carboidratos. A queima de glicose nas células se dá por meio da seguinte reação:
que libera 2808 kJ para cada mol de glicose.
(a) Para manter sua atividade diária você deve consumir o equivalente a aproximadamente quantos mols de açúcar?
b) Considere como válida a expressão mgH para a energia potencial gravitacional, utilize
e despreze a resistência do ar. Se uma xícara de 100 g de massa fosse lançada verticalmente, com energia igual à energia que você consome por dia, que altura ela poderia alcançar?
c) A expressão mgH é uma boa aproximação para a energia potencial gravitacional, na situação do item acima?
a) Não há resposta correta.
b) Sim, porque H é um valor muito menor do que o raio da Terra.
c) Sim, porque H é um valor próximo do raio da Terra.
d) Não, porque o objeto alcança uma altura maior do que o raio da Terra.
e) Sim, porque o objeto sobe uma pequena altura.
(a) Para manter sua atividade diária você deve consumir o equivalente a aproximadamente quantos mols de açúcar?
b) Considere como válida a expressão mgH para a energia potencial gravitacional, utilize
c) A expressão mgH é uma boa aproximação para a energia potencial gravitacional, na situação do item acima?
a) Não há resposta correta.
b) Sim, porque H é um valor muito menor do que o raio da Terra.
c) Sim, porque H é um valor próximo do raio da Terra.
d) Não, porque o objeto alcança uma altura maior do que o raio da Terra.
e) Sim, porque o objeto sobe uma pequena altura.
Passo 1
O enunciado tem três partes. Vou listar claramente o que é pedido e os dados que temos.
-
Perguntas:
- (a) Quantos mols de glicose correspondem, aproximadamente, à energia que você precisa consumir por dia?
- (b) Se uma xícara de massa
for lançada verticalmente com energia igual à energia diária que você consome, qual altura ela alcançaria usando a expressão da energia potencial gravitacional ? Use e despreze resistência do ar. - (c) A expressão
é boa aproximação para a energia potencial na situação do item (b)? Escolher entre as alternativas dadas (a)–(e).
-
Dados fornecidos e escolhas que vamos assumir (o enunciado não deu explicitamente a energia diária, então assumiremos o valor típico usado em física/biologia para “atividade diária”):
- Energia liberada pela combustão de uma mol de glicose:
. - Tomarei consumo diário aproximado como
(valor padrão de referência). - Conversão de energia:
. - Massa da xícara:
. - Aceleração gravitacional:
. - Raio médio da Terra que usarei para comparar:
.
- Energia liberada pela combustão de uma mol de glicose:
Não vou resolver nada ainda — só organizei o que o problema pede e os números que usarei.
Passo 2
Converter a energia diária assumida (
) para
e para
.
-
Primeiro em
: -
Em joules (porque
usa joules):
Aqui eu explico rápido por que fiz isso: a energia por mol de glicose foi dada em
, então primeiro a deixei em
para comparar, e depois converti para joules porque a fórmula
dá energia em joules quando usamos
em kg,
em
e
em m.
Passo 3
Calcular o número de mols de glicose necessários para fornecer essa energia diária.
-
Fórmula usada: para energia total
e energia por mol , ondeé o número de mols, é a energia total (em ) e é a energia por mol (em ). -
Aplicando os números (uso
e ): -
Interpretação prática: a massa molar da glicose
é cerca de , então corresponde a uma massa de glicose de aproximadamente ou seja, algo em torno de meio quilo de açúcar puro (isso dá uma ideia do tamanho, não que a dieta deva ser só açúcar!).
Passo 4
Calcular a altura
usando a fórmula
(energia convertida totalmente em energia potencial no alto).
-
Explicação da fórmula e das variáveis:
-
é a energia disponível (em joules). -
é a massa do objeto (em kg). -
é a aceleração da gravidade (em ). -
é a altura máxima alcançada (em m) se toda energia for transformada em energia potencial e não houver perdas.
A fórmula isolada paraé -
-
Substituindo
, e : -
Converter para quilômetros para intuir melhor:
-
Comparação com o raio da Terra (
):
Ou seja: usando
com a energia diária assumida, a xícara alcançaria uma altura maior que o raio da Terra — algo surpreendente, mas é indicação de que a aproximação pode estar fora da zona de validade.
Passo 5
Análise crítica: a expressão
é uma boa aproximação aqui? (explicação didática do que significa “boa aproximação”)
-
Quando
é uma boa aproximação: - A fórmula
assume que é aproximadamente constante durante o deslocamento. Isso é válido quando a altura é muito menor que o raio da Terra: . Em palavras: se você sobe alguns quilômetros (ou dezenas de quilômetros), não muda muito e funciona bem.
- A fórmula
-
Quando não é válida:
- Para grandes alturas comparáveis ao raio da Terra,
diminui com a distância ao centro da Terra (aproximadamente como ), então a energia necessária para subir até uma altura medida a partir da superfície é melhor calculada pela diferença de energia potencial gravitacional real: onde é a constante gravitacional, é a massa da Terra e o raio da Terra. Usando essa expressão pode ser reescrita de maneira conveniente: Assim, a energia real para subir até é multiplicado por — esse fator tende para quando , e fica muito menor quando é comparável a .
- Para grandes alturas comparáveis ao raio da Terra,
-
Aplicando ao nosso caso:
- Já calculamos
e , portanto é do mesmo ordem ou maior que . Vamos comparar a energia disponível com a energia necessária para levar o objeto até o infinito (energia de escape parcial): - Energia necessária para levar a massa
da superfície até infinito (ou seja, energia de ligação gravitacional por unidade ) é . - Calcule
com nossos números: , , : - Nossa energia diária em joules é
, que é maior que . Isso significa que, com essa energia, a xícara teria energia suficiente para escapar da atração gravitacional da Terra (isto é, poderia ir para o infinito), então não faz sentido usar a aproximação para estimar uma altura finita — a altura seria infinita na conta exata (ou seja, com energia suficiente para escapar, o objeto não fica ligado por uma altitude finita).
- Energia necessária para levar a massa
- Outra forma de ver: usando a fórmula exata
, se você tivesse exatamente energia, resolver para dá um denominador que fica zero quando e negativo se , o que corresponde ao fato físico de que o objeto pode escapar.
- Já calculamos
-
Conclusão para a alternativa (a)–(e):
- A aproximação
NÃO é boa aqui porque calculado é maior que o raio da Terra e, na verdade, a energia usada é suficiente para escapar da Terra. A alternativa correta é a (d): “Não, porque o objeto alcança uma altura maior do que o raio da Terra.”
- A aproximação
Resposta
(a)
(b)
(c) d
(b)
(c) d