4- Para os seres humanos, a fonte principal de energia vem da queima de glicose. Ela está presente principalmente no açúcar e carboidratos. A queima de glicose nas células se dá por meio da seguinte reação: \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}+6 \mathrm{O}_{2} \rightarrow 6 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}+6 \mathrm{CO}_{2} que libera 2808 kJ para cada mol de glicose.
(a) Para manter sua atividade diária você deve consumir o equivalente a aproximadamente quantos mols de açúcar?
b) Considere como válida a expressão mgH para a energia potencial gravitacional, utilize \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2 e despreze a resistência do ar. Se uma xícara de 100 g de massa fosse lançada verticalmente, com energia igual à energia que você consome por dia, que altura ela poderia alcançar?
c) A expressão mgH é uma boa aproximação para a energia potencial gravitacional, na situação do item acima?
a) Não há resposta correta.
b) Sim, porque H é um valor muito menor do que o raio da Terra.
c) Sim, porque H é um valor próximo do raio da Terra.
d) Não, porque o objeto alcança uma altura maior do que o raio da Terra.
e) Sim, porque o objeto sobe uma pequena altura.

Passo 1

O enunciado tem três partes. Vou listar claramente o que é pedido e os dados que temos.
  • Perguntas:
    • (a) Quantos mols de glicose correspondem, aproximadamente, à energia que você precisa consumir por dia?
    • (b) Se uma xícara de massa 100\\ \mathrm{g} for lançada verticalmente com energia igual à energia diária que você consome, qual altura H ela alcançaria usando a expressão da energia potencial gravitacional mgH? Use g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e despreze resistência do ar.
    • (c) A expressão mgH é boa aproximação para a energia potencial na situação do item (b)? Escolher entre as alternativas dadas (a)–(e).
  • Dados fornecidos e escolhas que vamos assumir (o enunciado não deu explicitamente a energia diária, então assumiremos o valor típico usado em física/biologia para “atividade diária”):
    • Energia liberada pela combustão de uma mol de glicose: \,2808\\ \mathrm{kJ/mol}.
    • Tomarei consumo diário aproximado como \,2000\\ \mathrm{kcal} (valor padrão de referência).
    • Conversão de energia: 1\\ \mathrm{kcal}=4{,}184\\ \mathrm{kJ}.
    • Massa da xícara: m=100\\ \mathrm{g}=0{,}100\\ \mathrm{kg}.
    • Aceleração gravitacional: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • Raio médio da Terra que usarei para comparar: R_{\text{Terra}}\approx6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
Não vou resolver nada ainda — só organizei o que o problema pede e os números que usarei.

Passo 2

Converter a energia diária assumida ( 2000\\ \mathrm{kcal}) para \mathrm{kJ} e para \mathrm{J}.
  • Primeiro em \mathrm{kJ}:
    E_{\text{dia}} = 2000\\ \mathrm{kcal}\times 4{,}184\\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kcal}} = 8\,368\\ \mathrm{kJ}.
  • Em joules (porque mgH usa joules):
    E_{\text{dia}} = 8\,368\\ \mathrm{kJ}\times 1000\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kJ}} = 8{,}368\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
Aqui eu explico rápido por que fiz isso: a energia por mol de glicose foi dada em \mathrm{kJ/mol}, então primeiro a deixei em \mathrm{kJ} para comparar, e depois converti para joules porque a fórmula mgH dá energia em joules quando usamos m em kg, g em \mathrm{m/s^2} e H em m.

Passo 3

Calcular o número de mols de glicose necessários para fornecer essa energia diária.
  • Fórmula usada: para energia total E e energia por mol E_{\text{mol}},
    n = \frac{E}{E_{\text{mol}}},
    onde n é o número de mols, E é a energia total (em \mathrm{kJ}) e E_{\text{mol}} é a energia por mol (em \mathrm{kJ/mol}).
  • Aplicando os números (uso E_{\text{dia}}=8{,}368\\ \mathrm{kJ} e E_{\text{mol}}=2808\\ \mathrm{kJ/mol}):
    n = \frac{8\,368\\ \mathrm{kJ}}{2808\\ \mathrm{kJ/mol}} \approx 2{,}98\\ \mathrm{mol}.
  • Interpretação prática: a massa molar da glicose \mathrm{C_6H_{12}O_6} é cerca de 180\\ \mathrm{g/mol}, então 2{,}98\\ \mathrm{mol} corresponde a uma massa de glicose de aproximadamente
    2{,}98\\ \mathrm{mol}\times 180\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{mol}} \approx 536\\ \mathrm{g},
    ou seja, algo em torno de meio quilo de açúcar puro (isso dá uma ideia do tamanho, não que a dieta deva ser só açúcar!).

Passo 4

Calcular a altura H usando a fórmula E = mgH (energia convertida totalmente em energia potencial no alto).
  • Explicação da fórmula e das variáveis:
    • E é a energia disponível (em joules).
    • m é a massa do objeto (em kg).
    • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}).
    • H é a altura máxima alcançada (em m) se toda energia for transformada em energia potencial e não houver perdas.
    A fórmula isolada para H é
    H = \frac{E}{mg}.
  • Substituindo E=8{,}368\times10^{6}\\ \mathrm{J}, m=0{,}100\\ \mathrm{kg} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}:
    H = \frac{8{,}368\times10^{6}\\ \mathrm{J}}{0{,}100\\ \mathrm{kg}\times 10\\ \mathrm{m/s^{2}}} = \frac{8{,}368\times10^{6}}{1}\\ \mathrm{m} = 8{,}368\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para quilômetros para intuir melhor:
    H \approx 8{,}368\times10^{6}\\ \mathrm{m} = 8{,}368\times10^{3}\\ \mathrm{km} \approx 8{,}37\times10^{3}\\ \mathrm{km}.
  • Comparação com o raio da Terra ( R_{\text{Terra}}\approx6{,}37\times10^{3}\\ \mathrm{km}):
    H \approx 8{,}37\times10^{3}\\ \mathrm{km} > R_{\text{Terra}}\approx6{,}37\times10^{3}\\ \mathrm{km}.
Ou seja: usando mgH com a energia diária assumida, a xícara alcançaria uma altura maior que o raio da Terra — algo surpreendente, mas é indicação de que a aproximação pode estar fora da zona de validade.

Passo 5

Análise crítica: a expressão mgH é uma boa aproximação aqui? (explicação didática do que significa “boa aproximação”)
  • Quando mgH é uma boa aproximação:
    • A fórmula E\approx mgH assume que g é aproximadamente constante durante o deslocamento. Isso é válido quando a altura H é muito menor que o raio da Terra: H\ll R_{\text{Terra}}. Em palavras: se você sobe alguns quilômetros (ou dezenas de quilômetros), g não muda muito e mgH funciona bem.
  • Quando não é válida:
    • Para grandes alturas comparáveis ao raio da Terra, g diminui com a distância ao centro da Terra (aproximadamente como 1/r^{2}), então a energia necessária para subir até uma altura H medida a partir da superfície é melhor calculada pela diferença de energia potencial gravitacional real: \Delta U = GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+H}\right),onde G é a constante gravitacional, M é a massa da Terra e R o raio da Terra. Usando g=GM/R^{2} essa expressão pode ser reescrita de maneira conveniente: \Delta U = mgH\cdot\frac{R}{R+H}.Assim, a energia real para subir até H é mgH multiplicado por \dfrac{R}{R+H} — esse fator tende para 1 quando H\ll R, e fica muito menor quando H é comparável a R.
  • Aplicando ao nosso caso:
    • Já calculamos H\approx8{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m} e R\approx6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}, portanto H é do mesmo ordem ou maior que R. Vamos comparar a energia disponível E com a energia necessária para levar o objeto até o infinito (energia de escape parcial):
      • Energia necessária para levar a massa m da superfície até infinito (ou seja, energia de ligação gravitacional por unidade m) é E_{\infty}=mgR.
      • Calcule mgR com nossos números: m=0{,}1\\ \mathrm{kg}, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, R=6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}: mgR = 0{,}1\times10\times6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{J} = 6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
      • Nossa energia diária em joules é E=8{,}368\times10^{6}\\ \mathrm{J}, que é maior que mgR=6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{J}. Isso significa que, com essa energia, a xícara teria energia suficiente para escapar da atração gravitacional da Terra (isto é, poderia ir para o infinito), então não faz sentido usar a aproximação mgH para estimar uma altura finita — a altura seria infinita na conta exata (ou seja, com energia suficiente para escapar, o objeto não fica ligado por uma altitude finita).
    • Outra forma de ver: usando a fórmula exata \Delta U = mgH\cdot\frac{R}{R+H}, se você tivesse exatamente E energia, resolver para H dá um denominador que fica zero quando E=mgR e negativo se E>mgR, o que corresponde ao fato físico de que o objeto pode escapar.
  • Conclusão para a alternativa (a)–(e):
    • A aproximação mgH NÃO é boa aqui porque H calculado é maior que o raio da Terra e, na verdade, a energia usada é suficiente para escapar da Terra. A alternativa correta é a (d): “Não, porque o objeto alcança uma altura maior do que o raio da Terra.”

Resposta

(a) \approx 2{,}98\\ \mathrm{mol}
(b) H \approx 8{,}368\times10^{6}\\ \mathrm{m} \approx 8{,}37\times10^{3}\\ \mathrm{km}
(c) d

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