10 { }^{\text {2 }} ) Determinou-se a posição de um ponto P , através do levantamento topográfico, utilizando o método planimétrico da interseção inversa, a partir das medidas angulares obtidas com um teodolito instalado em P , ao visar-se os pontos \mathrm{A}, \mathrm{B} \mathrm{e} \mathrm{C}, vértices consecutivos de uma poligonal. Sabendo-se que \mathrm{Az} \overline{\mathrm{AB}}=62^{\circ} 50^{\prime}, \mathrm{A} \widehat{\mathrm{BC}}=223^{\circ} 00^{\prime}, \mathrm{APB}=43^{\circ} 30^{\prime}, \mathrm{BPC}=48^{\circ} 30^{\prime}, \overline{\mathrm{AB}}=104,48 \mathrm{~m}, \overline{\mathrm{BC}}=92,60 \mathrm{~m} e que os pontos \mathrm{A}, \mathrm{B} e C estāo situados a norte do ponto P , solicita-se calcular:
a) as coordenadas retangulares do ponto P, utilizando a soluçāo analítica de Pothenót, adotan-do-se para a Estaçāo \mathrm{A}: \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=2580,00 \mathrm{~m} ; \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=3280,00 \mathrm{~m};
b) a extensão do alinhamento \overline{\mathrm{CP}};
c) os rumos dos alinhamentos \overline{\mathrm{PA}}, \overline{\mathrm{PB}}, \overline{\mathrm{PC}} e \overline{\mathrm{CP}};
d) as coordenadas retangulares dos pontos B e C .

Passo 1

O enunciado trata de determinar a posição do ponto P por interseção inversa (método de Pothenót analítico), conhecendo as coordenadas de A, as distâncias \overline{AB}, \overline{BC}, a azimute de \overline{AB}, o ângulo no vértice B da poligonal e os ângulos \angle APB e \angle BPC medidos no ponto P. Precisaremos:
  1. Calcular as coordenadas de B e C.
  2. Construir os dois círculos que passam por A,B e por B,C de modo que eles subtendam nos pontos da circunferência os ângulos \angle APB e \angle BPC.
  3. Interseccionar esses círculos para obter as coordenadas de P.
  4. Calcular \overline{CP} e os rumos dos alinhamentos pedid0s.

Passo 2

Calculamos primeiro as coordenadas de B a partir de A usando a azimute de \overline{AB}:
\mathrm{Az}_{AB}=62^\circ50',\quad \overline{AB}=104,48\mathrm{~m},\quad (X_A,Y_A)=(2580,00,\;3280,00).
As componentes cartesianas são
\Delta X_{AB} = AB\sin\bigl(\mathrm{Az}_{AB}\bigr), \quad \Delta Y_{AB} = AB\cos\bigl(\mathrm{Az}_{AB}\bigr),
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\Delta X_{AB}=104,48\sin(62^\circ50')\approx92,94,\quad \Delta Y_{AB}=104,48\cos(62^\circ50')\approx47,63.
Assim
X_B = X_A + \Delta X_{AB} \approx 2580,00 + 92,94 = 2672,94, \quad Y_B = Y_A + \Delta Y_{AB} \approx 3280,00 + 47,63 = 3327,63.
Para chegar a C, usamos o ângulo interno no vértice B da poligonal
\angle ABC=223^\circ00'. Primeiro achamos a azimute de \overline{BA}:
\mathrm{Az}_{BA} = \mathrm{Az}_{AB} + 180^\circ = 242^\circ50'.
O sentido de \overline{BC} é
\mathrm{Az}_{BC} = \mathrm{Az}_{BA} + 223^\circ00' = 242^\circ50' + 223^\circ00' = 465^\circ50' - 360^\circ = 105^\circ50'.
Com \overline{BC}=92,60\mathrm{~m},
\Delta X_{BC} = BC\sin\bigl(\mathrm{Az}_{BC}\bigr)\approx92,60\sin(105^\circ50')\approx89,09,
\Delta Y_{BC} = BC\cos\bigl(\mathrm{Az}_{BC}\bigr)\approx92,60\cos(105^\circ50')\approx-25,27.
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X_C = X_B + \Delta X_{BC} \approx 2672,94 + 89,09 = 2762,03,
Y_C = Y_B + \Delta Y_{BC} \approx 3327,63 - 25,27 = 3302,36.

Passo 3

Construímos dois círculos: um passando por A,B que subtende o ângulo
\alpha=\angle APB=43^\circ30', e outro passando por B,C que subtende
\beta=\angle BPC=48^\circ30'.
  1. No círculo (AB):
    • Raio
    R_{AB}=\frac{AB}{2\sin\alpha},
    • distância da mediatriz até o centro
    h_{AB}=\frac{AB}{2}\cot\alpha,
    • mediatriz de AB centrada em
    M_{AB}\bigl(\tfrac{X_A+X_B}2,\;\tfrac{Y_A+Y_B}2\bigr) \approx(2626,47,\;3303,82).Escolhemos o lado da mediatriz que fica ao sul de AB para que o ponto
    P reste abaixo de A,B.
  2. No círculo (BC):
    • Raio
    R_{BC}=\frac{BC}{2\sin\beta},
    • distância da mediatriz até o centro
    h_{BC}=\frac{BC}{2}\cot\beta,
    • mediatriz de BC centrada em
    M_{BC}\bigl(\tfrac{X_B+X_C}2,\;\tfrac{Y_B+Y_C}2\bigr)\approx(2717,49,\;3314,00).Novamente escolhemos o lado sul de BC.

Passo 4

Interseccionamos analiticamente os dois círculos. Sejam
O_1,\;R_1\quad\text{o centro e raio do círculo em }AB, \qquad O_2,\;R_2\quad\text{o centro e raio do círculo em }BC,íí
a distância entre centros
d=\|O_2-O_1\|\approx64,74,
os parâmetros
a=\frac{R_1^2-R_2^2+d^2}{2d}\approx47,47, \quad h=\sqrt{R_1^2 - a^2}\approx59,38.
Chamando de P' o pé da perpendicular de O_1O_2 à reta que une
os dois centros, tem-se
P' = O_1 + \frac{a}{d}\,(O_2-O_1)\approx(2693,94,\;3276,41).
As duas interseções são
P = P' \pm h\,\frac{(O_2-O_1)^\perp}{d}.
Dessas, a que fica mais ao sul (menor Y) é
(X_P,Y_P)\approx(2721,93,\;3223,98).

Passo 5

A extensão de \overline{CP} é
CP = \sqrt{(X_C-X_P)^2 + (Y_C - Y_P)^2} \approx\sqrt{(2762,03-2721,93)^2 + (3302,36-3223,98)^2}\approx88,05\mathrm{~m}.

Passo 6

Os rumos dos alinhamentos são obtidos por
\mathrm{Az}=\mathrm{atan2}(\Delta X,\Delta Y) medido de
0^\circ no norte, sentido horário:
\begin{aligned} \text{PA: }\Delta X&=X_A-X_P=-141,93,\;\Delta Y=Y_A-Y_P=56,02 &\Longrightarrow R_{\overline{PA}}&=291^\circ24'\;(N68^\circ36'W),\\\ \text{PB: }\Delta X&=X_B-X_P=-48,99,\;\Delta Y=Y_B-Y_P=103,65 &\Longrightarrow R_{\overline{PB}}&=334^\circ42'\;(N25^\circ18'W),\\\ \text{PC: }\Delta X&=X_C-X_P=40,10,\;\Delta Y=Y_C-Y_P=78,38 &\Longrightarrow R_{\overline{PC}}&=027^\circ07'\;(N27^\circ07'E),\\\ \text{CP: }\Delta X&=X_P-X_C=-40,10,\;\Delta Y=Y_P-Y_C=-78,38 &\Longrightarrow R_{\overline{CP}}&=207^\circ07'\;(S27^\circ07'W). \end{aligned}

Resposta

a) P=(X_P,Y_P)=(2721,93\,\mathrm{m},\;3223,98\,\mathrm{m}).
b) \overline{CP}\approx88,05\,\mathrm{m}.
c) R_{\overline{PA}}=291^\circ24',
R_{\overline{PB}}=334^\circ42',
R_{\overline{PC}}=027^\circ07',
R_{\overline{CP}}=207^\circ07'.
d) B=(2672,94\,\mathrm{m},\;3327,63\,\mathrm{m}),
C=(2762,03\,\mathrm{m},\;3302,36\,\mathrm{m}).

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