10 { }^{\text {2 }} ) Determinou-se a posição de um ponto P , através do levantamento topográfico, utilizando o método planimétrico da interseção inversa, a partir das medidas angulares obtidas com um teodolito instalado em P , ao visar-se os pontos \mathrm{A}, \mathrm{B} \mathrm{e} \mathrm{C}, vértices consecutivos de uma poligonal. Sabendo-se que \mathrm{Az} \overline{\mathrm{AB}}=62^{\circ} 50^{\prime}, \mathrm{A} \widehat{\mathrm{BC}}=223^{\circ} 00^{\prime}, \mathrm{APB}=43^{\circ} 30^{\prime}, \mathrm{BPC}=48^{\circ} 30^{\prime}, \overline{\mathrm{AB}}=104,48 \mathrm{~m}, \overline{\mathrm{BC}}=92,60 \mathrm{~m} e que os pontos \mathrm{A}, \mathrm{B} e C estāo situados a norte do ponto P , solicita-se calcular:
a) as coordenadas retangulares do ponto P, utilizando a soluçāo analítica de Pothenót, adotan-do-se para a Estaçāo \mathrm{A}: \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=2580,00 \mathrm{~m} ; \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=3280,00 \mathrm{~m};
b) a extensão do alinhamento \overline{\mathrm{CP}};
c) os rumos dos alinhamentos \overline{\mathrm{PA}}, \overline{\mathrm{PB}}, \overline{\mathrm{PC}} e \overline{\mathrm{CP}};
d) as coordenadas retangulares dos pontos B e C .
Passo 1
O enunciado trata de determinar a posição do ponto P por interseção inversa (método de Pothenót analítico), conhecendo as coordenadas de A, as distâncias \overline{AB}, \overline{BC}, a azimute de \overline{AB}, o ângulo no vértice B da poligonal e os ângulos \angle APB e \angle BPC medidos no ponto P. Precisaremos:
Calcular as coordenadas de B e C.
Construir os dois círculos que passam por A,B e por B,C de modo que eles subtendam nos pontos da circunferência os ângulos \angle APB e \angle BPC.
Interseccionar esses círculos para obter as coordenadas de P.
Calcular \overline{CP} e os rumos dos alinhamentos pedid0s.
Passo 2
Calculamos primeiro as coordenadas de B a partir de A usando a azimute de \overline{AB}:
Construímos dois círculos: um passando por A,B que subtende o ângulo \alpha=\angle APB=43^\circ30', e outro passando por B,C que subtende \beta=\angle BPC=48^\circ30'.
No círculo (AB):
Raio
R_{AB}=\frac{AB}{2\sin\alpha},
distância da mediatriz até o centro
h_{AB}=\frac{AB}{2}\cot\alpha,
mediatriz de AB centrada em
M_{AB}\bigl(\tfrac{X_A+X_B}2,\;\tfrac{Y_A+Y_B}2\bigr) \approx(2626,47,\;3303,82).Escolhemos o lado da mediatriz que fica ao sul de AB para que o ponto P reste abaixo de A,B.
No círculo (BC):
Raio
R_{BC}=\frac{BC}{2\sin\beta},
distância da mediatriz até o centro
h_{BC}=\frac{BC}{2}\cot\beta,
mediatriz de BC centrada em
M_{BC}\bigl(\tfrac{X_B+X_C}2,\;\tfrac{Y_B+Y_C}2\bigr)\approx(2717,49,\;3314,00).Novamente escolhemos o lado sul de BC.
Passo 4
Interseccionamos analiticamente os dois círculos. Sejam
O_1,\;R_1\quad\text{o centro e raio do círculo em }AB, \qquad O_2,\;R_2\quad\text{o centro e raio do círculo em }BC,íí
a) P=(X_P,Y_P)=(2721,93\,\mathrm{m},\;3223,98\,\mathrm{m}).
b) \overline{CP}\approx88,05\,\mathrm{m}.
c) R_{\overline{PA}}=291^\circ24', R_{\overline{PB}}=334^\circ42', R_{\overline{PC}}=027^\circ07', R_{\overline{CP}}=207^\circ07'.
d) B=(2672,94\,\mathrm{m},\;3327,63\,\mathrm{m}), C=(2762,03\,\mathrm{m},\;3302,36\,\mathrm{m}).