Os pontos P e Q foram levantados topograficamente através do método planimétrico da interseção lateral, a partir de uma base \overline{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{B}}, definida por suas coordenadas retangulares: \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=15100,00 \mathrm{~m} ; \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=20200,00 \mathrm{~m} ; \mathrm{X}_{\mathrm{B}}=15350,00 \mathrm{~m} ; \mathrm{Y}_{\mathrm{B}}=19800,00 \mathrm{~m}. Ainda no campo, foram lidos os seguintes angulos: \mathrm{A} \widehat{\mathrm{BP}}=60^{\circ} 20^{\prime} ; \mathrm{B} \widehat{\mathrm{PA}}=75^{\circ} 10^{\prime} ; \mathrm{Az} \overline{\mathrm{AQ}}=195^{\circ} 10^{\prime} \mathrm{e} \widehat{\mathrm{A}} \widehat{\mathrm{Q}} \mathrm{B}=96^{\circ} 30^{\prime}.
Solicita-se calcular:
a) as coordenadas retangulares dos pontos P e Q , utilizando o processo analítico;
b) a extensão e o azimute do alinhamento \overline{\mathrm{PQ}}.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a base topográfica \overline{AB} com
X_A=15100{,}00\\ \mathrm{m},\quad Y_A=20200{,}00\\ \mathrm{m},
X_B=15350{,}00\\ \mathrm{m},\quad Y_B=19800{,}00\\ \mathrm{m}.
Para determinar P foram medidas as aberturas do triângulo ABP:
\angle ABP=60^\circ20', \angle BPA=75^\circ10'.
Para determinar Q foram medidas a azimute de \overline{AQ},
\Az(AQ)=195^\circ10', e a abertura \angle AQB=96^\circ30'.
O processo analítico consiste em:
  1. resolver cada triângulo por Lei dos Senos para obter os lados AP,BP e AQ,BQ,
  2. calcular os azimutes dos alinhamentos AP e BQ,
  3. obter as coordenadas cartesianas de P e Q a partir de A (ou B),
  4. finalmente calcular PQ e seu azimute.

Passo 2

Cálculo de P. Primeiro o comprimento de \overline{AB}:
AB=\sqrt{(15350-15100)^2+(19800-20200)^2} =\sqrt{250^2+(-400)^2} =471{,}70\\ \mathrm{m}.
No triângulo ABP as aberturas são
\angle ABP=60^\circ20', \angle BPA=75^\circ10',
logo a no vértice A é
\angle BAP =180^\circ-60^\circ20'-75^\circ10' =44^\circ30'.
Pela Lei dos Senos,
\frac{AP}{\sin\angle ABP} =\frac{AB}{\sin\angle BPA} \quad\Longrightarrow\quad AP =AB\;\frac{\sin60^\circ20'}{\sin75^\circ10'} \approx425{,}3\\ \mathrm{m}.
O azimute de \overline{AB} é
\Az(A\!B) =\atan2\bigl(\Delta X,\Delta Y\bigr) =\atan2(250,\,-400) =148^\circ00',
e a abertura \angle BAP=44^\circ30' fica para o lado interno do triângulo, que se encontra girando no sentido horário a partir de \Az(A\!B). Assim
\Az(A\!P) =\Az(A\!B)-\angle BAP =148^\circ00'-44^\circ30' =103^\circ30'.
Logo as coordenadas de P saindo de A são
\Delta X_P=AP\sin\Az(A\!P) =425{,}3\sin103^\circ30'\approx+413{,}8\\ \mathrm{m},
\Delta Y_P=AP\cos\Az(A\!P) =425{,}3\cos103^\circ30'\approx-99{,}2\\ \mathrm{m},
X_P=15100{,}00+413{,}8=15513{,}8\\ \mathrm{m},\quad Y_P=20200{,}00-99{,}2=20100{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Cálculo de Q. No triângulo ABQ conhecemos
\Az(AQ)=195^\circ10' e \angle AQB=96^\circ30'.
O interior em A é
\angle BAQ =\Az(AQ)-\Az(A\!B) =195^\circ10'-148^\circ00' =47^\circ10'.
Logo o terceiro ângulo em B é
\angle ABQ =180^\circ-\angle BAQ-\angle AQB =180^\circ-47^\circ10'-96^\circ30' =36^\circ20'.
Pela Lei dos Senos,
AQ =AB\;\frac{\sin\angle ABQ}{\sin\angle AQB} =471{,}70\;\frac{\sin36^\circ20'}{\sin96^\circ30'} \approx281{,}9\\ \mathrm{m}.
As coordenadas de Q a partir de A são
\Delta X_Q=AQ\sin\Az(AQ) =281{,}9\sin195^\circ10'\approx-73{,}9\\ \mathrm{m},
\Delta Y_Q=AQ\cos\Az(AQ) =281{,}9\cos195^\circ10'\approx-272{,}2\\ \mathrm{m},
X_Q=15100{,}00-73{,}9=15026{,}1\\ \mathrm{m}, \quad Y_Q=20200{,}00-272{,}2=19927{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo de \overline{PQ}.
\Delta X_{PQ}=X_Q-X_P =15026{,}1-15513{,}8=-487{,}7\\ \mathrm{m},
\Delta Y_{PQ}=Y_Q-Y_P =19927{,}8-20100{,}8=-172{,}9\\ \mathrm{m},
PQ=\sqrt{(-487{,}7)^2+(-172{,}9)^2} \approx517{,}7\\ \mathrm{m}.
O azimute de \overline{PQ} é
\Az(PQ) =\atan2(\Delta X_{PQ},\Delta Y_{PQ}) \quad(\Delta Y<0\Rightarrow180^\circ+)
|\atan(\tfrac{-487{,}7}{-172{,}9})| =\atan(2{,}82)\approx70^\circ20' \quad\Longrightarrow\quad \Az(PQ)=180^\circ+70^\circ20'=250^\circ20'.

Resposta

P=(15513{,}8\\ \mathrm{m},\,20100{,}8\\ \mathrm{m})
Q=(15026{,}1\\ \mathrm{m},\,19927{,}8\\ \mathrm{m})
\overline{PQ}=517{,}7\\ \mathrm{m}, \Az(PQ)=250^\circ20'.

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