Calcular as coordenadas retangulares de um ponto M , levantado por interseção lateral, a partir de uma base \overline{\mathrm{AB}}. Os dados de campo são:
\mathrm{Az} \overline{\mathrm{AB}}=243^{\circ} 50^{\prime} \quad ; \overline{\mathrm{AB}}=184,50 \mathrm{~m}
\mathrm{Az} \overline{\mathrm{BM}}=35^{\circ} 18^{\prime} \quad ; \mathrm{Az} \overline{\mathrm{MA}}=127^{\circ} 35^{\prime}
\mathrm{X}_{\mathrm{A}}=300,00 \mathrm{~m} \quad ; \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=400,00 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado nos dá as coordenadas de A, a azimute e o comprimento da base \overline{AB}, e mais duas azimutes que formam o triângulo ABM. Em particular:
\;X_A=300,00 m, \;Y_A=400,00 m,
\;\mathrm{Az}_{AB}=243^\circ50', \;AB=184,50 m,
\;\mathrm{Az}_{BM}=35^\circ18', \;\mathrm{Az}_{MA}=127^\circ35'.
Queremos as coordenadas de M fazendo conversão polar \tocartesiano e interseção de retas definidas por azimutes.

Passo 2

Calcular as coordenadas de B a partir de A. Primeiro convertemos
\mathrm{Az}_{AB}=243,8333^\circ.
Em um sistema onde X é leste e Y é norte, as variações são
\Delta X_{AB}=AB\cdot\sin(\mathrm{Az}_{AB}),\qquad \Delta Y_{AB}=AB\cdot\cos(\mathrm{Az}_{AB}).
Substituindo AB=184,50 m e avaliando os senos e cossenos, obtemos
\Delta X_{AB}\approx -165{,}6,\quad \Delta Y_{AB}\approx -81{,}3.
Logo
X_B = 300{,}00 -165{,}6 = 134{,}4,\qquad Y_B = 400{,}00 -81{,}3 = 318{,}7.

Passo 3

Para escrever a reta AM, precisamos de \mathrm{Az}_{AM}. Como foi dada \mathrm{Az}_{MA}=127^\circ35', temos
\mathrm{Az}_{AM} = 127^\circ35' + 180^\circ = 307^\circ35' \quad(\approx307,5833^\circ).
As retas paramétricas são
M = B + t\bigl(\sin\mathrm{Az}_{BM},\,\cos\mathrm{Az}_{BM}\bigr), \quad M = A + s\bigl(\sin\mathrm{Az}_{AM},\,\cos\mathrm{Az}_{AM}\bigr).
Isto leva ao sistema
\begin{cases} X_B + t\,\sin(\mathrm{Az}_{BM}) = X_A + s\,\sin(\mathrm{Az}_{AM}),\\\ Y_B + t\,\cos(\mathrm{Az}_{BM}) = Y_A + s\,\cos(\mathrm{Az}_{AM}). \end{cases}

Passo 4

Substituindo
X_A=300,\;Y_A=400,\; X_B=134{,}4,\;Y_B=318{,}7, \quad \mathrm{Az}_{BM}=35,3000^\circ,\; \mathrm{Az}_{AM}=307,5833^\circ,
e usando
\sin35,3^\circ\approx0,578, \cos35,3^\circ\approx0,816,
\sin307,5833^\circ\approx-0,792, \cos307,5833^\circ\approx0,610,
o sistema fica
\begin{cases} 0,578\,t +0,792\,s =165,6,\\\\ 0,816\,t -0,610\,s =81,3. \end{cases}
Resolvendo por combinação linear, encontra-se
t\approx165,7,\quad s\approx88,4.

Passo 5

Finalmente, as coordenadas de M podem ser obtidas pelo segmento BM:
X_M = X_B + t\sin(\mathrm{Az}_{BM}) \approx 134{,}4 +165{,}7\cdot0,578 =230{,}1,
Y_M = Y_B + t\cos(\mathrm{Az}_{BM}) \approx 318{,}7 +165{,}7\cdot0,816 =453{,}9.

Resposta

As coordenadas retangulares de M são aproximadamente
X_M = 230{,}1\;\mathrm{m},\quad Y_M = 453{,}9\;\mathrm{m}.

Exercícios relacionados