12. PRODUTO INTERNO
- Calcule:
- Determine o ângulo entre:
- Verifique se os vetores são ortogonais.
- Determine a projeção ortogonal de:
sobre
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais vetores ele dá.
- Pergunta 1: Calcular o produto interno
. - Pergunta 2: Determinar o ângulo entre os vetores
e . - Pergunta 3: Verificar se os vetores (do item anterior) são ortogonais.
- Pergunta 4: Determinar a projeção ortogonal de
sobre .
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):
- Vetor
. - Vetor
. - Vetor
. - Vetor
. - Vetor
(para projeção) e vetor-direção .
Agora que sabemos exatamente o que é pedido e quais vetores temos, começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Produto interno — definição e cálculo do primeiro item.
Definição (aula rápida): o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores em
, digamos
e
, é dado por
Aqui cada componente do primeiro vetor é multiplicada pela componente correspondente do segundo, e depois somam-se os resultados.
Aplicando a definição aos vetores do item 1:
Faço as multiplicações (passo a passo):
Somando:
Portanto o produto interno pedido é
.
Passo 3
Como achar o ângulo entre dois vetores — fórmula, interpretação e cálculo para
e
.
Fórmula principal (aula): para vetores
e
em
, o cosseno do ângulo
entre eles é dado por
onde
é a norma (comprimento) do vetor
definida por
no caso de
. Intuição: o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro; dividindo pelas normas obtemos o cosseno do ângulo.
Passo a passo para
e
:
- Calcular o produto interno
:
- Calcular as normas:
- Aplicar a fórmula do cosseno:
- Encontrar
: sabemos que . Portanto
Em radianos isso é
.
Passo 4
Verificação de ortogonalidade (o que significa e aplicação ao caso).
Definição curta: dois vetores são ortogonais se e só se o produto interno entre eles for zero, isto é,
.
No nosso caso calculamos
no Passo 3. Como
, os vetores
e
NÃO são ortogonais.
Passo 5
Projeção ortogonal — fórmula, interpretação e cálculo da projeção de
sobre
.
Fórmula (aula): a projeção ortogonal de um vetor
sobre um vetor não nulo
é o vetor
Explicação simples: o número
é a componente escalar de
na direção de
; multiplicando esse escalar por
obtemos o vetor que é exatamente a “sombra” de
sobre a direção de
.
Agora aplico aos vetores dados:
e
.
- Calcular
:
- Calcular
:
-
O escalar multiplicador é
. -
Multiplicar esse escalar por
:
Se quiser conferir rápido (dica): a componente perpendicular é
, e esse vetor é realmente ortogonal a
(produto interno zero), o que confirma que a projeção está correta.
Resposta
Não são ortogonais\n