12. PRODUTO INTERNO

  1. Calcule:
(1,2) \cdot(3,4)
  1. Determine o ângulo entre:
(1,0) \quad \text { e } \quad(1,1)
  1. Verifique se os vetores são ortogonais.
  2. Determine a projeção ortogonal de:
(2,3)
sobre
(1,1)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais vetores ele dá.
  • Pergunta 1: Calcular o produto interno (1,2)\cdot(3,4).
  • Pergunta 2: Determinar o ângulo entre os vetores (1,0) e (1,1).
  • Pergunta 3: Verificar se os vetores (do item anterior) são ortogonais.
  • Pergunta 4: Determinar a projeção ortogonal de (2,3) sobre (1,1).
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):
  • Vetor v_1=(1,2).
  • Vetor v_2=(3,4).
  • Vetor a=(1,0).
  • Vetor b=(1,1).
  • Vetor v=(2,3) (para projeção) e vetor-direção u=(1,1).
Agora que sabemos exatamente o que é pedido e quais vetores temos, começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Produto interno — definição e cálculo do primeiro item.
Definição (aula rápida): o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores em \mathbb{R}^2, digamos x=(x_1,x_2) e y=(y_1,y_2), é dado por
x\cdot y = x_1 y_1 + x_2 y_2.
Aqui cada componente do primeiro vetor é multiplicada pela componente correspondente do segundo, e depois somam-se os resultados.
Aplicando a definição aos vetores do item 1:
(1,2)\cdot(3,4) = 1\cdot3 + 2\cdot4.
Faço as multiplicações (passo a passo):
1\cdot3 = 3,\qquad 2\cdot4 = 8.
Somando:
3+8 = 11.
Portanto o produto interno pedido é 11.

Passo 3

Como achar o ângulo entre dois vetores — fórmula, interpretação e cálculo para (1,0) e (1,1).
Fórmula principal (aula): para vetores a e b em \mathbb{R}^n, o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|},
onde \|a\| é a norma (comprimento) do vetor a definida por
\|a\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
no caso de \mathbb{R}^2. Intuição: o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro; dividindo pelas normas obtemos o cosseno do ângulo.
Passo a passo para a=(1,0) e b=(1,1):
  1. Calcular o produto interno a\cdot b:
a\cdot b = 1\cdot1 + 0\cdot1 = 1 + 0 = 1.
  1. Calcular as normas:
\|a\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1,
\|b\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
  1. Aplicar a fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|} = \frac{1}{1\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
  1. Encontrar \theta: sabemos que \cos 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}. Portanto
\theta = 45^\circ.
Em radianos isso é \theta = \dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Verificação de ortogonalidade (o que significa e aplicação ao caso).
Definição curta: dois vetores são ortogonais se e só se o produto interno entre eles for zero, isto é, a\cdot b = 0.
No nosso caso calculamos a\cdot b = 1 no Passo 3. Como 1\neq 0, os vetores
(1,0) e (1,1) NÃO são ortogonais.

Passo 5

Projeção ortogonal — fórmula, interpretação e cálculo da projeção de (2,3) sobre (1,1).
Fórmula (aula): a projeção ortogonal de um vetor v sobre um vetor não nulo u é o vetor
\operatorname{proj}_{u}(v) = \frac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u.
Explicação simples: o número \dfrac{v\cdot u}{u\cdot u} é a componente escalar de v na direção de u; multiplicando esse escalar por u obtemos o vetor que é exatamente a “sombra” de v sobre a direção de u.
Agora aplico aos vetores dados: v=(2,3) e u=(1,1).
  1. Calcular v\cdot u:
v\cdot u = 2\cdot1 + 3\cdot1 = 2 + 3 = 5.
  1. Calcular u\cdot u:
u\cdot u = 1\cdot1 + 1\cdot1 = 1 + 1 = 2.
  1. O escalar multiplicador é \dfrac{v\cdot u}{u\cdot u} = \dfrac{5}{2}.
  2. Multiplicar esse escalar por u:
\operatorname{proj}_{(1,1)}(2,3) = \frac{5}{2}\,(1,1) = \left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right).
Se quiser conferir rápido (dica): a componente perpendicular é v-\operatorname{proj}_u(v) = (2,3) - \left(\tfrac{5}{2},\tfrac{5}{2}\right) = \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right), e esse vetor é realmente ortogonal a u (produto interno zero), o que confirma que a projeção está correta.

Resposta

(1,2)\cdot(3,4)=11\n
\theta=45^\circ=\dfrac{\pi}{4}\n
Não são ortogonais\n
\operatorname{proj}_{(1,1)}(2,3)=\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{5}{2}\right)

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