13. NORMA, DISTÂNCIA E ORTOGONALIDADE

  1. Determine a norma de:
(3,4)
  1. Determine a distância entre:
(1,2) \quad \mathrm{e} \quad(4,6)
  1. Verifique se os vetores:
(1,2),(2,-1)
são ortogonais.
  1. Determine um vetor unitário na direção de:
(3,4)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado apresenta quatro perguntas separadas, com os seguintes dados e pedidos:
  • Dado o vetor (3,4). Pede: determinar a norma desse vetor.
  • Dados os pontos (1,2) e (4,6). Pede: determinar a distância entre eles.
  • Dados os vetores (1,2) e (2,-1). Pede: verificar se são ortogonais.
  • Dado o vetor (3,4). Pede: determinar um vetor unitário na direção desse vetor.
Anotei tudo acima exatamente como veio no enunciado. A partir daqui vou desenvolver cada item passo a passo, explicando as fórmulas e o raciocínio de forma bem didática para você conseguir reproduzir na prova.

Passo 2

Entender o que é norma (tamanho) de um vetor em \mathbb{R}^2.
  • Definição: para um vetor (x,y) em \mathbb{R}^2, a norma euclidiana (também chamada de comprimento) é dada por
\|(x,y)\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Intuição: isso vem do Teorema de Pitágoras: se você pensa no vetor (x,y) como o segmento do ponto (0,0) até (x,y), então os catetos do triângulo retângulo são x e y, e a hipotenusa (o comprimento do vetor) é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Agora apliquei essa definição ao vetor dado (3,4).

Passo 3

Cálculo direto da norma de (3,4).
  • Usando a fórmula:
\|(3,4)\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}.
  • Calcule os quadrados:
3^{2}=9,\qquad 4^{2}=16.
  • Some:
9+16=25.
  • Tire a raiz quadrada:
\sqrt{25}=5.
Portanto a norma de (3,4) é 5. Observação amistosa: (3,4,5) é um famoso triplo pitagórico — isso facilita muito conta rápida na prova.

Passo 4

Entender a distância entre dois pontos em \mathbb{R}^2.
  • Definição: a distância entre os pontos P=(x_{1},y_{1}) e Q=(x_{2},y_{2}) é a norma da diferença:
d(P,Q)=\|Q-P\|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.
  • Intuição: é só novamente Pitágoras, aplicando a diferença de coordenadas como catetos do triângulo.
Agora aplico essa fórmula aos pontos dados (1,2) e (4,6).

Passo 5

Cálculo direto da distância entre (1,2) e (4,6).
  • Primeiro calcule o vetor diferença:
(4,6)-(1,2)=(4-1,\,6-2)=(3,4).
  • Já calculamos a norma de (3,4) no Passo 3 e obtivemos 5.
  • Usando a definição:
d\big((1,2),(4,6)\big)=\|(3,4)\|=5.
Dica prática: muitas distâncias entre pontos inteiros resultam em algum triplo pitagórico; vale checar mentalmente.

Passo 6

Entender o produto interno (produto escalar) e ortogonalidade em \mathbb{R}^2.
  • Definição do produto escalar (dot product): para u=(u_{1},u_{2}) e v=(v_{1},v_{2}),
u\cdot v = u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}.
  • Critério de ortogonalidade: dois vetores são ortogonais (perpendiculares) se, e somente se, o produto escalar for zero:
u\cdot v = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad u \perp v.
  • Intuição: geometricamente o produto escalar mede projeção / alinhamento; zero significa nenhum componente na mesma direção — ângulo de 90^\circ.
Agora aplico isso aos vetores (1,2) e (2,-1).

Passo 7

Cálculo do produto escalar entre (1,2) e (2,-1).
  • Use a fórmula:
(1,2)\cdot(2,-1)=1\cdot 2 + 2\cdot(-1).
  • Calcule os termos:
1\cdot 2 = 2,\qquad 2\cdot(-1) = -2.
  • Some:
2 + (-2) = 0.
Como o produto escalar é 0, conclui-se que os vetores são ortogonais (perpendiculares). Relaxa: isso é exatamente o teste rápido que você deve fazer na prova.

Passo 8

Encontrar um vetor unitário na direção de (3,4).
  • Definição: um vetor unitário é um vetor com norma igual a 1. Para obter um vetor unitário na direção de um vetor u\neq 0, divide-se u pela sua norma:
\hat{u}=\frac{u}{\|u\|}.
  • Aplicando isso a u=(3,4): já sabemos que \|u\|=5 (Passo 3). Então
\hat{u}=\frac{1}{5}(3,4)=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
  • Verificação rápida da norma do vetor resultante:
\left\|\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\right\| =\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}} =\sqrt{\frac{25}{25}} =1.
Pronto — esse é um vetor unitário na direção de (3,4).

Resposta

\|(3,4)\|=5
d\big((1,2),(4,6)\big)=5
Os vetores (1,2) e (2,-1) são ortogonais.
Um vetor unitário na direção de (3,4) é \left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right).

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