10^{\underline{\mathrm{a}}} QUESTÃO

Carlito quer comprar uma televisão que custa \mathrm{R} \ 1.500,00 à vista, mas só terá dinheiro após 3 meses. Ele pede emprestado a seu amigo Samir essa quantia. Samir empresta o dinheiro, mas cobrará juros compostos deàóáóá45 %$ a.a. Observe que o tempo, no qual a taxa está expressa, é diferente do tempo, no qual o período está expresso, sendo necessário deixá-los em uma mesma unidade de tempo.
Elaborado pelo professor, 2022.
Considerando as informações acima e utilizando a calculadora HP-12C, qual o comando que irá converter a taxa para 3,14% a.m.?

ALTERNATIVAS

CHS
PV
145
FV
3
n
i

Passo 1

O enunciado pede explicitamente: qual o comando, na calculadora HP-12C, que vai converter a taxa de 45\% ao ano para a taxa equivalente de 3{,}14\% ao mês.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Taxa anual efetiva: 45\% ao ano (ou seja, 0{,}45 em forma decimal).
  • Queremos a taxa mensal equivalente (unidade de tempo mês).
  • A HP-12C permite resolver problemas de equivalência de taxas usando as teclas de TVM (tempos n, valor presente PV, valor futuro FV e calculando a taxa periódica com a tecla i).
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceito matemático necessário (aulas rápidas, sem pular etapas): para transformar uma taxa efetiva anual i_{a} em taxa efetiva mensal i_{m} usamos a relação de capitalização composta, que vem de igualar fatores de acumulação:
1+i_{a}=(1+i_{m})^{12}.
Isso significa que o montante de 1 real após um ano com taxa i_{a} deve ser igual ao montante obtido aplicando a taxa mensal i_{m} durante 12 meses. Para encontrar i_{m} isolamos:
i_{m}=(1+i_{a})^{1/12}-1.
Aqui cada variável é:
  • i_{a}: taxa anual efetiva (em decimal), no problema i_{a}=0{,}45.
  • i_{m}: taxa mensal efetiva (em decimal), o que queremos.
  • O expoente 1/12 transforma a capitalização anual em mensal.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números do enunciado: substituímos i_{a}=0{,}45 na fórmula
i_{m}=(1+0{,}45)^{1/12}-1=(1{,}45)^{1/12}-1.
Para calcular numericamente podemos usar logaritmo ou a calculadora; por desenvolvimento rápido usando logaritmo natural:
\ln(1{,}45)\approx 0{,}371100\quad\Rightarrow\quad \frac{\ln(1{,}45)}{12}\approx 0{,}030925.
Então
i_{m}\approx e^{0{,}030925}-1\approx 0{,}031397\text{ (em decimal)}.
Convertendo para porcentagem:
i_{m}\approx 0{,}031397\approx 3{,}1397\%\approx 3{,}14\% \text{ ao mês.}ê
Ou seja, a taxa mensal equivalente é aproximadamente 3{,}14\% a.m.

Passo 4

Agora a parte prática na HP-12C (modo RPN, usando as teclas TVM). A ideia: considerar um principal PV=-1 que vira FV=1{,}45 após n=12 períodos; pedimos à HP-12C a taxa por período com a tecla i. Por que isso funciona: o problema “um real vira 1{,}45 em 12 períodos” é exatamente a equação (1+i_{m})^{12}=1{,}45. A HP-12C resolve essa equação quando você fornece PV, FV e n e pede i. Passo a passo de teclas (sequência) na HP-12C:
  • Digitar 1{,}45 e apertar a tecla [FV] (armazenar FV=1{,}45).
  • Digitar 1, apertar [CHS] (para ficar -1) e apertar [PV] (armazenar PV=-1).
  • Digitar 12 e apertar [n] (armazenar n=12).
  • Finalmente, apertar a tecla [i] — a calculadora calcula a taxa por período (a resposta sairá como 3{,}1397\ldots\%, isto é 3{,}14\% a.m.).

Passo 5

Explicando por que o comando final é exatamente a tecla que está nas alternativas: ao preencher PV, FV e n a HP-12C sabe o problema de valor temporal e, ao pressionar [i], ela resolve a equação polinomial para a taxa periódica i. Portanto, a tecla que efetua a conversão para 3{,}14\% a.m. é a tecla
i
(ou seja, você pressiona [i] depois de ter colocado FV=1{,}45, PV=-1 e n=12).

Passo 6

Dica de prova e incentivo: se quiser fazer na calculadora sem TVM, também pode calcular (1{,}45)^{1/12}-1 usando a tecla de potência (se souber usar y^x). Mas o método TVM com [i] é elegante e evita potenciação manual. Vai dar certo — respira, faz a sequência na HP-12C com calma e pressione [i] no final. Boa sorte na prova!

Resposta

i

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