Escrever cada número dado para a base b (Justo, 2020; Exercício 2.1.7).
(21,2)_{8} para a base b=16.

Passo 1

O enunciado pede converter o número (21,2)_{8} para a base b=16.
Informações dadas:
\text{o número original: }(21,2)_{8}ú
\text{base origem: }8
\text{base destino: }16
\text{parte inteira (em base 8): }21
\text{parte fracionária (em base 8): }2á

Passo 2

Entendendo o que significa um número na base b. Um número com dígitos à esquerda e à direita da vírgula na base b,
(d_k d_{k-1}\dots d_1 d_0, d_{-1} d_{-2}\dots)_b
representa a soma
\sum_{i=0}^{k} d_i b^i + \sum_{j=1}^{\infty} d_{-j} b^{-j},
onde cada d_i é um dígito (um inteiro entre 0 e b-1). Aqui b^i indica potências da base: b^0=1, b^1=b, b^{-1}=1/b, etc.
Aplicando isso a (21,2)_{8}:
Parte inteira:
(21)_8 = 2\cdot 8^1 + 1\cdot 8^0 = 2\cdot 8 + 1\cdot 1 = 16 + 1 = 17.
Parte fracionária:
(0,2)_8 = 2\cdot 8^{-1} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25.
Somando inteiro e fracionário (em decimal):
(21,2)_8 = 17 + 0,25 = 17,25 \\ (\text{decimal}).

Passo 3

Como converter para a base 16. Método padrão:
  • Para a parte inteira: dividir sucessivamente pela base destino 16 e registrar restos; os dígitos em base 16 são os restos lidos de baixo para cima.
  • Para a parte fracionária: multiplicar sucessivamente a parte fracionária por 16; a parte inteira de cada produto dá o próximo dígito, e repete-se com a parte fracionária restante até obter resto zero ou ter dígitos suficientes.
Vamos aplicar à nossa parte inteira decimal 17.
Dividindo 17 por 16:
17 = 1\cdot 16 + 1,
ou seja, quociente 1 e resto 1. Como o quociente 1 é menor que 16, ele é o dígito mais significativo. Lemos os restos de baixo para cima: primeiro resto 1, depois quociente 1. Portanto a parte inteira em base 16 é
(11)_{16}.
(Em hexadecimal os dígitos 10,11,12,13,14,15 seriam A,B,C,D,E,F, mas aqui usamos apenas 1 e 1.)

Passo 4

Agora a parte fracionária decimal 0,25. Aplicamos o método da multiplicação por 16:
Multiplicação:
0,25 \times 16 = 4,0.
A parte inteira do produto é 4, que é o primeiro dígito fracionário em base 16. A parte fracionária restante é 0,0, então o processo termina. Assim a parte fracionária em base 16 é
(,4)_{16}.

Passo 5

Juntando parte inteira e fracionária em base 16, obtemos
(11,4)_{16}.
Pronto — conversão concluída. Uma maneira alternativa (quando as bases são potências de 2) é passar por binário agrupando bits, mas aqui o caminho via decimal foi direto e simples porque os números são pequenos.

Resposta

(11,4)_{16}

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