5^{\underline{\mathrm{a}}} QUESTÃO

As séries de pagamentos uniformes são aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalos de tempos iguais. Essas séries podem ser classificadas em imediata (quando o primeiro pagamento ocorre no primeiro período da série) ou diferida (quando o primeiro pagamento é feito a partir do segundo período da série.
Disponível em: https://prima.furg.br/images/livromfhp12c.pdf. Acesso em: 21 abr. 2022.
Considere que o preço de um carro à vista é de \mathrm{R} \ 20.000,00 e foi pago em 15 prestações mensais iguais, sem entrada e a primeira parcela sendo paga um mês após a compra. Sendo que a taxa de juros na compra do carro foi deçõêó3 % a.m., o valor pago em cada prestação da compra foi deçã\mathrm{R} $1.675,33$.
Elaborado pelo professor, 2022.
Considerando a situação mencionada acima e utilizando a calculadora HP-12C, avalie as afirmações a seguir.
I. Para encontrar o valor pago em cada prestação é necessário utilizar a tecla
END
, pois os pagamentos postecipados são considerados no fim do primeiro período.
II. Como o pagamento das prestações se deu de forma antecipada, deve ser utilizada a tecla
B E G
III. Para calcular o valor pago em cada prestação deve-se usar os comandos:
\begin{gathered} g \\\ E N D \end{gathered}
20000

CHS

P V
15
n
3
i
PMT
É correto o que se afirma em:

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Preço à vista do carro: \mathrm{R}\$\,20.000,00.
  • Pagamento em 15 prestações mensais iguais, sem entrada.
  • A primeira parcela foi paga um mês após a compra (ou seja, o primeiro pagamento ocorre em t=1 mês).
  • Taxa de juros: i=3\% ao mês.
  • O enunciado informa que o valor de cada prestação foi \mathrm{R}\$\,1.675,33.
  • Pergunta: avaliar se as afirmações I, II e III sobre uso da HP-12C e do modo BEGIN/END e sobre a sequência de teclas estão corretas.

Passo 2

Entendendo os conceitos importantes (bem devagar, como numa conversa):
  • Pagamento postecipado (ou ordinário): os pagamentos ocorrem no final de cada período. Ex.: se você compra hoje e paga a primeira prestação daqui a um mês, é pagamento no final do período — isto é postecipado.
  • Pagamento antecipado (ou pré–datado): os pagamentos ocorrem no início de cada período. Ex.: primeira parcela imediatamente (em t=0) ou no momento da compra.
  • Na HP-12C existe um modo para indicar isso: modo END (pagamentos no fim do período) e modo BEG (pagamentos no início do período). O modo deve refletir quando a primeira parcela é paga em relação ao tempo t=0.
No nosso caso a primeira parcela foi paga um mês após a compra, ou seja em t=1. Logo é pagamento postecipado — devemos usar o modo END.

Passo 3

Analisando a afirmação I:
  • Afirmação I: “Para encontrar o valor pago em cada prestação é necessário utilizar a tecla END, pois os pagamentos postecipados são considerados no fim do primeiro período.”
  • Comentário didático: como vimos, pagamentos postecipados correspondem a pagamento no fim do período; a HP-12C precisa estar em modo END para tratar isso corretamente (o modo END é o apropriado para a situação em que a primeira parcela ocorre em t=1). Mesmo que a HP-12C normalmente já venha em END por padrão, usar explicitamente END garante que estamos no modo correto.
  • Conclusão: a afirmação I está correta.

Passo 4

Analisando a afirmação II:
  • Afirmação II: “Como o pagamento das prestações se deu de forma antecipada, deve ser utilizada a tecla \mathrm{BEG}.”
  • Comentário didático: isto contraria o enunciado. A primeira parcela foi paga um mês após a compra (ou seja, não imediatamente), portanto NÃO é pagamento antecipado. O modo correto é END, não BEG.
  • Conclusão: a afirmação II está incorreta.

Passo 5

Analisando a afirmação III e explicando passo a passo a sequência de teclas (como usar na prova e porque funciona):
  • Afirmação III diz que para calcular o valor de cada prestação deve-se usar os comandos:
    g END
    20000
    CHS
    PV
    15
    n
    3
    i
    PMT
  • Explicação didática dos passos (tecla a tecla):
    1. g END: ajusta a calculadora para o modo END (pagamentos no fim do período). Isso garante que a HP-12C interprete corretamente que a primeira parcela é em t=1.
    2. Digitar 20000 e em seguida CHS PV: ao receber o empréstimo/valor do carro, a convenção de sinais é geralmente entrada positiva para quem recebe o dinheiro e saídas (as prestações) negativas — ou vice‑versa. Para a HP-12C uma prática comum é colocar o valor presente como negativo (indica que você recebeu R\$\,20.000 e vai pagar), então digita-se 20000, pressiona-se CHS para trocar o sinal e depois PV para armazenar \text{PV} = -20000.
    3. Digitar 15 e pressionar n: define o número de períodos n=15.
    4. Digitar 3 e pressionar i: define a taxa por período i=3\%.
    5. Pressionar PMT: a HP-12C resolve para o pagamento periódico PMT.
  • Por que isso dá o resultado esperado? A fórmula da anualidade postecipada (anuidade ordinária) que relaciona valor presente e prestação é:
\text{PV} = \text{PMT}\,\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Isolando \text{PMT}:
\text{PMT} = \text{PV}\,\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Substituindo \text{PV}=20000, i=0,03 e n=15 obtemos (para comparar numericamente):
\text{PMT}=20000\cdot\frac{0,03}{1-(1{,}03)^{-15}}\approx \mathrm{R}\$\,1.675{,}3\text{ (aprox.)}.
  • Observação sobre sinais: se colocarmos \text{PV}=-20000 na HP-12C, o resultado \text{PMT} virá positivo (pagamento), coerente com a convenção de sinais (você paga as parcelas).
  • Conclusão: a sequência de teclas indicada em III está correta para calcular o valor da prestação no modo END e para obter o valor informado no enunciado. Portanto, a afirmação III está correta.

Passo 6

Resumo final do raciocínio:
  • I está correta (modo END para postecipado).
  • II está incorreta (não é pagamento antecipado).
  • III está correta (sequência de teclas apresentada calcula o PMT corretamente, com CHS para ajustar o sinal do PV e modo END).

Resposta

I e III

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