[10] Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange,
(10.1) Mostre que o retângulo com área maxima com perimetro fixo é um quadrado
(10.2) Calcule a área máxima de um retângulo com lados paralelos aos eixos coordenadas e inscrito na região limitada pelo eixos e pela reta
.
(10.3) Determine o retângulo de perímetro máximo (com lados paralelos aos eixos) que pode ser inscrito na elipse
.
(10.1) Mostre que o retângulo com área maxima com perimetro fixo é um quadrado
(10.2) Calcule a área máxima de um retângulo com lados paralelos aos eixos coordenadas e inscrito na região limitada pelo eixos e pela reta
(10.3) Determine o retângulo de perímetro máximo (com lados paralelos aos eixos) que pode ser inscrito na elipse
Passo 1
Aqui a ideia geral é usar o método dos multiplicadores de Lagrange para converter um problema de otimização com restrição em um sistema de equações que podemos resolver de forma sistemática. Vamos aplicar isso nos três itens: fixando perímetro para maximizar área; fixando a reta x+2y=2 para maximizar área; e fixando a elipse para maximizar perímetro.
Passo 2
Para o item (10.1) queremos maximizar a área de um retângulo de lados x e y sujeitos ao perímetro fixo P. Definimos
e a restrição
Pelo método de Lagrange montamos
Isso dá o sistema
\implies x=y.$$
Ou seja, para área máxima com perímetro fixo temos x=y, logo o retângulo é um quadrado.
Ou seja, para área máxima com perímetro fixo temos x=y, logo o retângulo é um quadrado.
Passo 3
No item (10.2) o retângulo inscrito tem vértice superior direito em (x,y) na reta x+2y=2 e eixos como lados. A área é
com restrição
Pelo método de Lagrange:
Isso gera
Substituindo em x+2y=2:
Então
e a área máxima é
Passo 4
No item (10.3) agora queremos maximizar o perímetro do retângulo inscrito na elipse
com lados paralelos aos eixos. Se o vértice em primeiro quadrante é (x,y), o perímetro é
Como 4 é constante, basta maximizar
Pelo Lagrange:
Isso dá
\implies \frac1{2x}=\frac1{8y}\implies x=4y.
(4y)2+4y2=4\implies 16y2+4y2=4\implies y^2=\tfrac15,\quad y=\tfrac1{\sqrt5},\quad x=\tfrac4{\sqrt5}.$$
Logo o perímetro máximo é
Resposta
(10.1) O retângulo de área máxima com perímetro fixo é um quadrado.
(10.2) A área máxima vale , obtida em
.
(10.3) O retângulo de perímetro máximo tem vértices em e perímetro
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(10.2) A área máxima vale
(10.3) O retângulo de perímetro máximo tem vértices em