[10] Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange,
(10.1) Mostre que o retângulo com área maxima com perimetro fixo é um quadrado
(10.2) Calcule a área máxima de um retângulo com lados paralelos aos eixos coordenadas e inscrito na região limitada pelo eixos e pela reta x+2 y=2.
(10.3) Determine o retângulo de perímetro máximo (com lados paralelos aos eixos) que pode ser inscrito na elipse x^2+4 y^2=4.

Passo 1

Aqui a ideia geral é usar o método dos multiplicadores de Lagrange para converter um problema de otimização com restrição em um sistema de equações que podemos resolver de forma sistemática. Vamos aplicar isso nos três itens: fixando perímetro para maximizar área; fixando a reta x+2y=2 para maximizar área; e fixando a elipse para maximizar perímetro.

Passo 2

Para o item (10.1) queremos maximizar a área de um retângulo de lados x e y sujeitos ao perímetro fixo P. Definimos
f(x,y)=xy
e a restrição
g(x,y)=2(x+y)-P=0
Pelo método de Lagrange montamos
nabla f=(y,,x)=lambdanabla g=lambda(2,2)
Isso dá o sistema
y=2lambda, x=2lambda$$
\implies x=y.$$
Ou seja, para área máxima com perímetro fixo temos x=y, logo o retângulo é um quadrado.

Passo 3

No item (10.2) o retângulo inscrito tem vértice superior direito em (x,y) na reta x+2y=2 e eixos como lados. A área é
f(x,y)=x,y
com restrição
g(x,y)=x+2y-2=0
Pelo método de Lagrange:
nabla f=(y,,x)=lambda(1,2)=lambdanabla g
Isso gera
y=lambda, x=2lambda
Substituindo em x+2y=2:
2lambda+2lambda=2implies 4lambda=2implies lambda=tfrac12
Então
y=tfrac12, x=1,
e a área máxima é
Amax=1cdottfrac12=tfrac12

Passo 4

No item (10.3) agora queremos maximizar o perímetro do retângulo inscrito na elipse
x^2+4y^2=4
com lados paralelos aos eixos. Se o vértice em primeiro quadrante é (x,y), o perímetro é
P=4(x+y)
Como 4 é constante, basta maximizar
h(x,y)=x+y\nsujeito a
k(x,y)=x^2+4y^2-4=0
Pelo Lagrange:
nabla h=(1,1)=lambda(2x,8y)=lambdanabla k
Isso dá
1=2lambda x, 1=8lambda y$$
\implies \frac1{2x}=\frac1{8y}\implies x=4y. implies 12x=18yimplies x=4y(4y)2+4y2=4\implies 16y2+4y2=4\implies y^2=\tfrac15,\quad y=\tfrac1{\sqrt5},\quad x=\tfrac4{\sqrt5}.$$
Logo o perímetro máximo é
(4y)^2+4y^2=4implies 16y^2+4y^2=4implies y^2=tfrac15, y=tfrac1raiz5, x=tfrac4raiz5

Resposta

(10.1) O retângulo de área máxima com perímetro fixo é um quadrado.
(10.2) A área máxima vale tfrac12, obtida em (x,y)=(1,tfrac12).
(10.3) O retângulo de perímetro máximo tem vértices em (pm4/raiz5,pm1/raiz5) e perímetro 4raiz5.

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