[9] Determine os pontos na superfície
que são proximo à origem
.
Passo 1
Resumo do problema: queremos achar os pontos no conjunto definido por g(x,y)=4xy−3y²=1 que minimizam a distância até (0,0). O conteúdo aqui é minimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar montar ∇f=λ∇g, onde f(x,y)=x²+y² é o quadrado da distância.
Passo 2
Definição de funções e gradientes. Definimos a função objetivo e a restrição:
Calculamos os gradientes:
Pelo método de Lagrange, impomos
Passo 3
Expressão de λ e eliminação. Da primeira equação tiramos
Substituindo na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 2y:
Reescrevendo tudo de um lado:
Isso é uma equação quadrática em x.
Passo 4
Resolução da quadrática e aplicação da restrição. Da equação
usamos fórmula de Bhaskara (ou fatoração) para obter
Para cada caso, aplicamos a restrição g(x,y)=1:
Para x=2y:
Para x=2y:
Para x=-y/2:
não tem solução real.
Passo 5
Conclusão dos pontos mais próximos. Os únicos pontos reais que satisfazem a restrição e as condições de Lagrange são
Verificando a distância:
portanto esses dois são de fato os pontos mais próximos a (0,0).
Resposta
(2/\sqrt5,;1/\sqrt5) e (-2/\sqrt5,;-1/\sqrt5)