[9] Determine os pontos na superfície g(x, y)=4 x y-3 y^2=1 que são proximo à origem (0,0).

Passo 1

Resumo do problema: queremos achar os pontos no conjunto definido por g(x,y)=4xy−3y²=1 que minimizam a distância até (0,0). O conteúdo aqui é minimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar montar ∇f=λ∇g, onde f(x,y)=x²+y² é o quadrado da distância.

Passo 2

Definição de funções e gradientes. Definimos a função objetivo e a restrição:
f(x,y)=x^2+y^2,
G(x,y)=4xy-3y^2-1=0
Calculamos os gradientes:
nabla f=(2x,2y),
nabla G=(4y,4x-6y)
Pelo método de Lagrange, impomos
2x=λcdot 4y,
2y=λcdot(4x-6y)

Passo 3

Expressão de λ e eliminação. Da primeira equação tiramos
λ=2x4y= x2y
Substituindo na segunda:
2y= x2y,(4x-6y)
Multiplicando ambos os lados por 2y:
4y^2=x, (4x-6y)
Reescrevendo tudo de um lado:
2x^2-3xy-2y^2=0
Isso é uma equação quadrática em x.

Passo 4

Resolução da quadrática e aplicação da restrição. Da equação
2x^2-3xy-2y^2=0
usamos fórmula de Bhaskara (ou fatoração) para obter
x=3y ±5y4implies x=2you x=-tfrac y2
Para cada caso, aplicamos a restrição g(x,y)=1:
Para x=2y:
4(2y)y-3y^2=5y^2=1implies y=±tfrac1raiz5, x=±tfrac2raiz5
Para x=-y/2:
4(-tfrac y2)y-3y^2=-5y^2=1
não tem solução real.

Passo 5

Conclusão dos pontos mais próximos. Os únicos pontos reais que satisfazem a restrição e as condições de Lagrange são
l(tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r)el(-tfrac2raiz5,-tfrac1raiz5r)
Verificando a distância:
d^2=x^2+y^2=5y^2=1implies d=1,
portanto esses dois são de fato os pontos mais próximos a (0,0).

Resposta

(2/\sqrt5,;1/\sqrt5) e (-2/\sqrt5,;-1/\sqrt5)

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